この問題では、3種類の玉（青、赤、黒）がそれぞれ10個ずつあり、その中から合計で20個の玉を選ぶときの色のパターン数を求めます。

色のパターンとは、青の玉、赤の玉、黒の玉が何個ずつ選ばれるかを意味します。これは、次の条件を満たす非負整数 $x_1, x_2, x_3$ の組み合わせを求めることと等価です。

$x_1 + x_2 + x_3 = 20$ ただし、各 $x_i$ はその色の玉の数を表し、次の条件を満たす必要があります： $0 \leq x_1 \leq 10, \quad 0 \leq x_2 \leq 10, \quad 0 \leq x_3 \leq 10$

このような条件付きの整数解の個数を求めるためには、包除原理を使用します。

まず、制約なしで考えると、上記の方程式の解の総数は、重複組合せの公式を使って次のように求められます： $\text{総数} = \binom{20 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{22}{2} = 231$

次に、いずれかの玉の数が11個以上になる場合を排除します。たとえば、青い玉が11個以上選ばれるとしましょう。この場合、青い玉を11個選んだ時点で、残りの9個を赤と黒で選ぶことになります。この場合の組合せ数は次のように求められます： $\binom{9 + 2}{2} = \binom{11}{2} = 55$ 赤または黒の玉についても同様に計算されますので、全体で3つのケースがあり、それぞれ55通りの組み合わせが存在します。これを引きます。

次に、2つの色が11個以上選ばれるケース（青と赤、青と黒、赤と黒）を考えます。たとえば、青と赤が11個以上の場合、青から11個、赤から11個選んだ時点で、残りは-2個しか残らず、これは不可能な組み合わせです。このような場合の組み合わせは存在しません。

従って、これらのすべてのケースを適用して、最終的な解は次のようになります： $\text{最終的な組み合わせ数} = 231 - 3 \times 55 = 66$

したがって、20個の玉を選ぶときに得られる色のパターン数は 66通り です。

質問があれば教えてください。また、次のような問題を試してみてはいかがでしょうか。

1. 5種類の玉がある場合、同じ問題を解くにはどうしますか？
2. 全部で15個の玉を選ぶ場合のパターン数は？
3. 10個以上の玉を含む色が必ず存在する場合のパターン数は？
4. 赤い玉を必ず5個以上選ぶ場合、パターン数はどうなりますか？
5. 青い玉が4個以下の場合のパターン数は？
6. 赤と黒の玉を同じ数だけ選ぶ場合のパターン数は？
7. 3色の玉が均等に選ばれる場合のパターン数は？
8. 最初に条件なしで計算した結果と比較して、実際に存在するパターン数はどう違いますか？

Tip: 包除原理は、複雑な条件付き組み合わせ問題を解くための強力なツールです。制約を一