青，赤，黒の三種類の玉が10個ずつある。この中から20個の玉を選ぶときに得られる色のパターンが何通りあるか求めよ。

この問題では、3種類の玉（青、赤、黒）がそれぞれ10個ずつあり、その中から合計で20個の玉を選ぶときの色のパターン数を求めます。

色のパターンとは、青の玉、赤の玉、黒の玉が何個ずつ選ばれるかを意味します。これは、次の条件を満たす非負整数 \(x_1, x_2, x_3\) の組み合わせを求めることと等価です。

\[
x_1 + x_2 + x_3 = 20
\]
ただし、各 \(x_i\) はその色の玉の数を表し、次の条件を満たす必要があります：
\[
0 \leq x_1 \leq 10, \quad 0 \leq x_2 \leq 10, \quad 0 \leq x_3 \leq 10
\]

このような条件付きの整数解の個数を求めるためには、包除原理を使用します。

まず、制約なしで考えると、上記の方程式の解の総数は、重複組合せの公式を使って次のように求められます：
\[
\text{総数} = \binom{20 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{22}{2} = 231
\]

次に、いずれかの玉の数が11個以上になる場合を排除します。たとえば、青い玉が11個以上選ばれるとしましょう。この場合、青い玉を11個選んだ時点で、残りの9個を赤と黒で選ぶことになります。この場合の組合せ数は次のように求められます：
\[
\binom{9 + 2}{2} = \binom{11}{2} = 55
\]
赤または黒の玉についても同様に計算されますので、全体で3つのケースがあり、それぞれ55通りの組み合わせが存在します。これを引きます。

次に、2つの色が11個以上選ばれるケース（青と赤、青と黒、赤と黒）を考えます。たとえば、青と赤が11個以上の場合、青から11個、赤から11個選んだ時点で、残りは-2個しか残らず、これは不可能な組み合わせです。このような場合の組み合わせは存在しません。

従って、これらのすべてのケースを適用して、最終的な解は次のようになります：
\[
\text{最終的な組み合わせ数} = 231 - 3 \times 55 = 66
\]

したがって、20個の玉を選ぶときに得られる色のパターン数は **66通り** です。

質問があれば教えてください。また、次のような問題を試してみてはいかがでしょうか。

1. 5種類の玉がある場合、同じ問題を解くにはどうしますか？
2. 全部で15個の玉を選ぶ場合のパターン数は？
3. 10個以上の玉を含む色が必ず存在する場合のパターン数は？
4. 赤い玉を必ず5個以上選ぶ場合、パターン数はどうなりますか？
5. 青い玉が4個以下の場合のパターン数は？
6. 赤と黒の玉を同じ数だけ選ぶ場合のパターン数は？
7. 3色の玉が均等に選ばれる場合のパターン数は？
8. 最初に条件なしで計算した結果と比較して、実際に存在するパターン数はどう違いますか？

**Tip:** 包除原理は、複雑な条件付き組み合わせ問題を解くための強力なツールです。制約を一

Explore how to count the number of color patterns when selecting 20 balls from three types (blue, red, black) with 10 balls each. This problem involves combinatorial mathematics, focusing on the binomial coefficient and inclusion-exclusion principle. Suitable for advanced high school students.

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