Diketahui: bidang datar yang dibatasi oleh pers garis Y = 2X sumbu x dan garis x = 4 rho = 1

Carilah :

a). Titik berat bidang datar tersebut

b). Volumenya jika bidang diputar keliling garis Y = 2X

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan melibatkan beberapa konsep dalam kalkulus, yaitu menghitung pusat massa (titik berat) dan volume dari suatu daerah yang diputar di sekitar garis tertentu.

### Diketahui:
- Garis: \( y = 2x \)
- Batasan pada sumbu x: \( x = 4 \)
- Kepadatan: \( \rho = 1 \)

### A). Menentukan Titik Berat Bidang Datar (Centroid)

Titik berat atau centroid \( (\bar{x}, \bar{y}) \) dari suatu daerah dapat dihitung dengan rumus:

\[
\bar{x} = \frac{\int_a^b x \cdot f(x) \, dx}{\int_a^b f(x) \, dx}
\]
\[
\bar{y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\int_a^b [f(x)]^2 \, dx}{\int_a^b f(x) \, dx}
\]

Di sini, \( f(x) = 2x \), dan batasnya adalah \( x = 0 \) hingga \( x = 4 \).

#### 1. Menentukan Luas Bidang Datar
Luas \( A \) dari daerah tersebut adalah:

\[
A = \int_0^4 2x \, dx
\]

#### 2. Menghitung \( \bar{x} \)
Menghitung koordinat x dari titik berat:

\[
\bar{x} = \frac{1}{A} \cdot \int_0^4 x \cdot 2x \, dx
\]

#### 3. Menghitung \( \bar{y} \)
Menghitung koordinat y dari titik berat:

\[
\bar{y} = \frac{1}{2A} \cdot \int_0^4 [2x]^2 \, dx
\]

### B). Menentukan Volume Saat Diputar Mengelilingi Garis \( y = 2x \)

Volume yang dihasilkan oleh pemutaran bidang datar di sekitar garis \( y = 2x \) dapat dihitung dengan metode cakram (disc method) atau cangkang silinder (cylindrical shell method).

Untuk kasus ini, kita akan menggunakan **metode cakram**:

\[
V = \pi \int_0^4 \left[(y_{\text{outer}}(x))^2 - (y_{\text{inner}}(x))^2\right] dx
\]

Di sini, \( y_{\text{outer}}(x) \) dan \( y_{\text{inner}}(x) \) adalah jarak dari garis \( y = 2x \).

Sekarang, mari kita hitung langkah-langkah tersebut.### A). Titik Berat Bidang Datar
1. **Luas daerah (A)**: \( A = 16 \)
2. **Koordinat \( \bar{x} \)**: \( \bar{x} = \frac{8}{3} \)
3. **Koordinat \( \bar{y} \)**: \( \bar{y} = \frac{8}{3} \)

Jadi, titik berat (centroid) dari bidang datar tersebut adalah \( \left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right) \).

### B). Volume
Saat bidang diputar mengelilingi garis \( y = 2x \), volume yang dihasilkan adalah **0**. Ini karena jarak antara bidang dan sumbu rotasi tidak menghasilkan volume—bidang ini berada pada garis tersebut tanpa ada ketebalan.

Jika ada pertanyaan lain atau Anda memerlukan perincian lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya!

---

**Pertanyaan terkait:**
1. Bagaimana metode cangkang silinder diterapkan pada masalah rotasi ini?
2. Apa yang terjadi jika garis rotasi digeser sejauh \( d \) unit?
3. Bagaimana pengaruh variasi densitas (\( \rho \)) pada hasil titik berat?
4. Bagaimana cara menghitung volume dengan metode cakram jika sumbu rotasi adalah sumbu y?
5. Bagaimana cara menemukan titik berat untuk bentuk bidang datar lainnya?

**Tip:** Ketika menghitung titik berat, pastikan bahwa batas-batas integral mencakup seluruh area yang relevan.

Learn how to find the centroid (center of mass) and volume of a flat region bounded by the lines y = 2x, x = 4. Includes step-by-step calculations for centroid coordinates and volume using integration methods. Suitable for university-level calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation