समस्या में दिए गए तथ्यों का उपयोग करते हुए, हम इसे त्रिकोणमिति (trigonometry) के सिद्धांतों का प्रयोग करके हल करेंगे।

मान लें कि:

• इमारत की ऊँचाई $h$ है।
• व्यक्ति शुरू में इमारत से $x$ गज की दूरी पर खड़ा है और उस स्थिति से उन्नयन कोण $60^\circ$ है।
• वह व्यक्ति 30 गज और आगे चलता है, जिससे अब उसकी दूरी इमारत से $x - 30$ गज रह जाती है और नया उन्नयन कोण $30^\circ$ हो जाता है।

अब, हम दो समीकरण बनाएंगे और उन्हें हल करेंगे।

चरण 1: पहले स्थिति (60° उन्नयन कोण) का समीकरण बनाएं

पहले स्थिति में: $\tan 60^\circ = \frac{h}{x}$ चूँकि $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, इसलिए $\sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x \cdot \sqrt{3} \quad \dots \text{(i)}$

चरण 2: दूसरी स्थिति (30° उन्नयन कोण) का समीकरण बनाएं

दूसरी स्थिति में: $\tan 30^\circ = \frac{h}{x - 30}$ चूँकि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x - 30} \Rightarrow h = \frac{x - 30}{\sqrt{3}} \quad \dots \text{(ii)}$

चरण 3: समीकरणों को हल करें

अब, हम दोनों समीकरणों (i) और (ii) से $h$ के मान को बराबर करते हैं: $x \cdot \sqrt{3} = \frac{x - 30}{\sqrt{3}}$ इसको हल करने के लिए दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करें: $3x = x - 30$ अब, $x$ को हल करें: $3x - x = 30 \Rightarrow 2x = 30 \Rightarrow x = 15$

अब $x = 15$ गज है। इस मान को $h$ में प्रतिस्थापित करें: $h = x \cdot \sqrt{3} = 15 \cdot \sqrt{3} = 15 \times 1.732 = 25.98$

उत्तर:

इमारत की ऊँचाई लगभग $26$ गज है।

क्या आप विस्तृत जानकारी चाहते हैं या आपके कोई प्रश्न हैं?

विस्तार में पूछने के लिए 5 सवाल:

1. अगर उन्नयन कोण को बदलकर कुछ अन्य कोण दिए जाएं तो क्या हल करने की प्रक्रिया समान होगी?
2. इमारत की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए कौन-कौन से त्रिकोणमिति के सूत्रों का इस्तेमाल किया गया है?
3. यदि व्यक्ति इमारत की ओर 30 गज नहीं चलता, बल्कि किसी अन्य दूरी पर चला जाता, तो हम समाधान कैसे करेंगे?
4. उन्नयन कोण को कैसे मापा जाता है और इसके अनुप्रयोग क्या हैं?
5. इस तरह की समस्याओं को हल करने के लिए और कौन-कौन से गणितीय तरीके इस्तेमाल किए जा सकते हैं?

एक टिप:

त्रिकोणमिति के सिद्धांतों को समझने के लिए कोण और दूरी के संबंधों का अभ्यास करें; यह विभिन्न ऊँचाईयों और दूरियों का सही अनुमान लगाने में सहायक होता है।