Tentukan tinggi gedung jika sudut elevasi puncaknya berubah dari 30 menjadi 45 saat pengamat bergerak 75 kaki dari alasnya

Soal ini melibatkan konsep trigonometri, khususnya penggunaan sudut elevasi dan jarak untuk menghitung tinggi gedung.

Mari kita pecahkan masalah ini langkah demi langkah:

### Diketahui:
- Pengamat awalnya berada pada posisi tertentu di mana sudut elevasi puncak gedung adalah \(30^\circ\).
- Ketika pengamat bergerak sejauh 75 kaki mendekati gedung, sudut elevasi puncak gedung berubah menjadi \(45^\circ\).
- Kita ingin menentukan tinggi gedung (\(h\)).

### Langkah-langkah Penyelesaian:

1. **Posisi awal (sudut elevasi 30°):**
   Misalkan jarak awal pengamat dari gedung adalah \(x\) kaki. Maka dari segitiga yang terbentuk, kita dapat menggunakan persamaan trigonometri:
   \[
   \tan(30^\circ) = \frac{h}{x}
   \]
   Karena \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), maka persamaan di atas menjadi:
   \[
   \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x}
   \]
   atau
   \[
   h = \frac{x}{\sqrt{3}} \quad \text{(Persamaan 1)}
   \]

2. **Posisi kedua (sudut elevasi 45°):**
   Setelah pengamat bergerak 75 kaki mendekati gedung, jarak pengamat dari gedung menjadi \(x - 75\) kaki. Maka, dengan sudut elevasi 45° kita memiliki:
   \[
   \tan(45^\circ) = \frac{h}{x - 75}
   \]
   Karena \(\tan(45^\circ) = 1\), persamaan di atas menjadi:
   \[
   1 = \frac{h}{x - 75}
   \]
   atau
   \[
   h = x - 75 \quad \text{(Persamaan 2)}
   \]

3. **Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2:**
   Dari Persamaan 1, kita tahu bahwa \(h = \frac{x}{\sqrt{3}}\). Substitusikan nilai \(h\) ini ke dalam Persamaan 2:
   \[
   \frac{x}{\sqrt{3}} = x - 75
   \]
   Kalikan kedua sisi dengan \(\sqrt{3}\) untuk menghilangkan pecahan:
   \[
   x = \sqrt{3}(x - 75)
   \]
   Distribusikan \(\sqrt{3}\) ke dalam kurung:
   \[
   x = \sqrt{3}x - 75\sqrt{3}
   \]
   Pindahkan semua suku yang mengandung \(x\) ke satu sisi:
   \[
   x - \sqrt{3}x = -75\sqrt{3}
   \]
   Faktorkan \(x\) di sisi kiri:
   \[
   x(1 - \sqrt{3}) = -75\sqrt{3}
   \]
   Bagi kedua sisi dengan \(1 - \sqrt{3}\):
   \[
   x = \frac{-75\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}
   \]

4. **Hitung nilai \(x\):**
   Sekarang kita bisa menghitung nilai \(x\) dan kemudian menggunakan Persamaan 1 untuk mencari \(h\).

Saya akan menghitung hasilnya.Setelah menghitung, didapat bahwa jarak awal pengamat dari gedung adalah sekitar \( x \approx 177.45 \) kaki.

5. **Tentukan tinggi gedung (\( h \)):**
   Sekarang kita bisa menggunakan Persamaan 1 untuk menghitung tinggi gedung:
   \[
   h = \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{177.45}{\sqrt{3}}
   \]

Saya akan menghitung nilai \( h \).Setelah dihitung, tinggi gedung tersebut adalah sekitar \( h \approx 102.45 \) kaki.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? Berikut 5 soal terkait yang bisa Anda coba:

1. Jika jarak pengamat awalnya 200 kaki dan sudut elevasinya berubah dari 30° menjadi 60°, berapa tinggi gedungnya?
2. Bagaimana jika jarak pengamat hanya bergerak 50 kaki dari alas gedung? Bagaimana pengaruhnya terhadap tinggi gedung?
3. Apa yang terjadi jika sudut elevasi awal 45° dan setelah bergerak 100 kaki menjadi 60°?
4. Bagaimana cara menggunakan hukum sinus untuk menyelesaikan masalah serupa ini?
5. Bagaimana jika sudut elevasi akhir adalah 30°, bukan 45°, dengan gerakan pengamat yang sama?

**Tip**: Saat menggunakan trigonometri untuk masalah sudut elevasi, selalu perhatikan hubungan antara sudut, jarak, dan tinggi objek agar perhitungannya tepat.

Learn how to determine the height of a building when the elevation angle changes from 30° to 45° as the observer moves 75 feet closer. This solution applies trigonometric concepts like tangent ratios and angle elevation to solve the problem, suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation