Soal ini melibatkan konsep trigonometri, khususnya penggunaan sudut elevasi dan jarak untuk menghitung tinggi gedung.

Mari kita pecahkan masalah ini langkah demi langkah:

Diketahui:

• Pengamat awalnya berada pada posisi tertentu di mana sudut elevasi puncak gedung adalah $30^\circ$.
• Ketika pengamat bergerak sejauh 75 kaki mendekati gedung, sudut elevasi puncak gedung berubah menjadi $45^\circ$.
• Kita ingin menentukan tinggi gedung ($h$).

Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Posisi awal (sudut elevasi 30°): Misalkan jarak awal pengamat dari gedung adalah $x$ kaki. Maka dari segitiga yang terbentuk, kita dapat menggunakan persamaan trigonometri: $\tan(30^\circ) = \frac{h}{x}$ Karena $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, maka persamaan di atas menjadi: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x}$ atau $h = \frac{x}{\sqrt{3}} \quad \text{(Persamaan 1)}$

2. Posisi kedua (sudut elevasi 45°): Setelah pengamat bergerak 75 kaki mendekati gedung, jarak pengamat dari gedung menjadi $x - 75$ kaki. Maka, dengan sudut elevasi 45° kita memiliki: $\tan(45^\circ) = \frac{h}{x - 75}$ Karena $\tan(45^\circ) = 1$, persamaan di atas menjadi: $1 = \frac{h}{x - 75}$ atau $h = x - 75 \quad \text{(Persamaan 2)}$

3. Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2: Dari Persamaan 1, kita tahu bahwa $h = \frac{x}{\sqrt{3}}$. Substitusikan nilai $h$ ini ke dalam Persamaan 2: $\frac{x}{\sqrt{3}} = x - 75$ Kalikan kedua sisi dengan $\sqrt{3}$ untuk menghilangkan pecahan: $x = \sqrt{3}(x - 75)$ Distribusikan $\sqrt{3}$ ke dalam kurung: $x = \sqrt{3}x - 75\sqrt{3}$ Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke satu sisi: $x - \sqrt{3}x = -75\sqrt{3}$ Faktorkan $x$ di sisi kiri: $x(1 - \sqrt{3}) = -75\sqrt{3}$ Bagi kedua sisi dengan $1 - \sqrt{3}$: $x = \frac{-75\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

4. Hitung nilai $x$: Sekarang kita bisa menghitung nilai $x$ dan kemudian menggunakan Persamaan 1 untuk mencari $h$.

Saya akan menghitung hasilnya.Setelah menghitung, didapat bahwa jarak awal pengamat dari gedung adalah sekitar $x \approx 177.45$ kaki.

5. Tentukan tinggi gedung ($h$): Sekarang kita bisa menggunakan Persamaan 1 untuk menghitung tinggi gedung: $h = \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{177.45}{\sqrt{3}}$

Saya akan menghitung nilai $h$.Setelah dihitung, tinggi gedung tersebut adalah sekitar $h \approx 102.45$ kaki.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? Berikut 5 soal terkait yang bisa Anda coba:

1. Jika jarak pengamat awalnya 200 kaki dan sudut elevasinya berubah dari 30° menjadi 60°, berapa tinggi gedungnya?
2. Bagaimana jika jarak pengamat hanya bergerak 50 kaki dari alas gedung? Bagaimana pengaruhnya terhadap tinggi gedung?
3. Apa yang terjadi jika sudut elevasi awal 45° dan setelah bergerak 100 kaki menjadi 60°?
4. Bagaimana cara menggunakan hukum sinus untuk menyelesaikan masalah serupa ini?
5. Bagaimana jika sudut elevasi akhir adalah 30°, bukan 45°, dengan gerakan pengamat yang sama?

Tip: Saat menggunakan trigonometri untuk masalah sudut elevasi, selalu perhatikan hubungan antara sudut, jarak, dan tinggi objek agar perhitungannya tepat.