Para calcular el área bajo la curva de la función $f(x) = 3 + 2x - x^2$ en el intervalo $[0, 3]$ utilizando la aproximación de Riemann, podemos elegir el método de aproximación que más nos convenga. En este caso, utilizaremos la suma de Riemann con el método de los puntos medios, que suele proporcionar una buena aproximación.

Paso 1: Dividir el intervalo en subintervalos

Dividimos el intervalo $[0, 3]$ en $n$ subintervalos de igual tamaño. Para simplicidad, consideremos $n = 3$. Así, cada subintervalo tendrá un ancho de:

$\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1$

Paso 2: Determinar los puntos medios de cada subintervalo

Los puntos medios de los subintervalos $[x_{i-1}, x_i]$ se calculan como:

$x_{i, \text{medio}} = \frac{x_{i-1} + x_i}{2}$

Para nuestros subintervalos:

• Primer subintervalo $[0, 1]$: punto medio = $\frac{0 + 1}{2} = 0.5$
• Segundo subintervalo $[1, 2]$: punto medio = $\frac{1 + 2}{2} = 1.5$
• Tercer subintervalo $[2, 3]$: punto medio = $\frac{2 + 3}{2} = 2.5$

Paso 3: Evaluar la función en los puntos medios

Calculamos $f(x)$ en los puntos medios:

• $f(0.5) = 3 + 2(0.5) - (0.5)^2 = 3 + 1 - 0.25 = 3.75$
• $f(1.5) = 3 + 2(1.5) - (1.5)^2 = 3 + 3 - 2.25 = 3.75$
• $f(2.5) = 3 + 2(2.5) - (2.5)^2 = 3 + 5 - 6.25 = 1.75$

Paso 4: Calcular el área aproximada

Usamos la fórmula de la suma de Riemann de los puntos medios:

$A \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_{i, \text{medio}}) \Delta x$

Con los valores obtenidos:

$A \approx f(0.5) \Delta x + f(1.5) \Delta x + f(2.5) \Delta x$ $A \approx 3.75 \cdot 1 + 3.75 \cdot 1 + 1.75 \cdot 1$ $A \approx 3.75 + 3.75 + 1.75$ $A \approx 9.25$

Por lo tanto, el área bajo la curva de $f(x) = 3 + 2x - x^2$ en el intervalo $[0, 3]$ utilizando la suma de Riemann con puntos medios es aproximadamente $9.25$ unidades cuadradas.

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Tip

Aumentar el número de subintervalos en la suma de Riemann generalmente mejora la precisión de la aproximación del área bajo una curva.