Para encontrar el valor de la región sombreada bajo la curva de la función $f(x) = 5x^4 + 4$ desde $x = 3$ hasta $x = 7$, necesitamos calcular la integral definida de $f(x)$ entre esos límites:

$\int_{3}^{7} \left(5x^4 + 4\right) \, dx$

Vamos a resolver esta integral paso a paso.

1. Integración del término $5x^4$: $\int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$

2. Integración del término constante $4$: $\int 4 \, dx = 4x$

Entonces, la integral de $f(x) = 5x^4 + 4$ es:

$\int (5x^4 + 4) \, dx = x^5 + 4x + C$

Ahora evaluamos esta expresión en los límites de 3 a 7:

[ \left[x^5 + 4x\right]_{3}^{7} = \left[7^5 + 4(7)\right] - \left[3^5 + 4(3)\right] ]

Calculamos cada parte:

1. Para $x = 7$: $7^5 + 4(7) = 16807 + 28 = 16835$

2. Para $x = 3$: $3^5 + 4(3) = 243 + 12 = 255$

Finalmente, restamos:

$16835 - 255 = 16580$

Entonces, el valor de la región sombreada es:

$\boxed{16580}$

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¿Tienes alguna pregunta adicional o necesitas más detalles? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se interpreta geométricamente la integral definida?
2. ¿Qué sucede si cambiamos los límites de integración?
3. ¿Cómo se resuelven integrales con funciones más complejas?
4. ¿Qué es una función antiderivada?
5. ¿Cómo afecta la constante de integración en integrales indefinidas?

Tip: Al calcular integrales definidas, es importante evaluar correctamente la función primitiva en los límites de integración.