Untuk menghitung luas daerah di bawah kurva $y = x^4 - 2x^3 + 2$ antara $x = -1$ dan $x = 2$, kita gunakan integral tertentu:

$\text{Luas} = \int_{-1}^2 |y| \, dx$

Namun, sebelum memulai, kita perlu mengetahui apakah fungsi $y = x^4 - 2x^3 + 2$ memiliki nilai negatif di interval $[-1, 2]$. Jika $y$ negatif di suatu subinterval, kita perlu mengintegrasikan $-y$ pada subinterval tersebut. Jadi, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Analisis Sifat Fungsi

Fungsi $y = x^4 - 2x^3 + 2$ diperiksa nilainya di titik-titik penting:

• $x = -1$: $y = (-1)^4 - 2(-1)^3 + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$
• $x = 0$: $y = 0^4 - 2(0)^3 + 2 = 2$
• $x = 2$: $y = (2)^4 - 2(2)^3 + 2 = 16 - 16 + 2 = 2$

2. Pencarian Titik Nol (Root)

Kita cari akar fungsi untuk menentukan di mana $y = 0$. $x^4 - 2x^3 + 2 = 0$ Karena $y$ tidak memiliki akar nyata yang relevan dalam interval $[-1, 2]$, maka $y > 0$ di seluruh interval tersebut.

3. Hitung Integral

Karena $y > 0$ pada interval ini, luas dapat dihitung langsung dengan integral: $\text{Luas} = \int_{-1}^2 \left( x^4 - 2x^3 + 2 \right) dx$

4. Perhitungan Integral

Integralkan setiap suku: $\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}, \quad \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int 2 \, dx = 2x$ Substitusikan batas: $\int_{-1}^2 \left( x^4 - 2x^3 + 2 \right) dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + 2x \right]_{-1}^2$

Substitusi $x = 2$: $\frac{2^5}{5} - \frac{2(2^4)}{4} + 2(2) = \frac{32}{5} - 8 + 4 = \frac{32}{5} - 4 = \frac{12}{5}$

Substitusi $x = -1$: $\frac{(-1)^5}{5} - \frac{2(-1)^4}{4} + 2(-1) = -\frac{1}{5} - \frac{2}{4} - 2 = -\frac{1}{5} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{17}{10}$

Hitung selisih: $\text{Luas} = \frac{12}{5} - \left(-\frac{17}{10}\right) = \frac{24}{10} + \frac{17}{10} = \frac{41}{10} = 4.1$

Jawaban

Luas daerah adalah: $\boxed{4.1 \, \text{satuan luas}}$

Ingin penjelasan tambahan atau ada pertanyaan? 😊

---

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara memeriksa perubahan tanda pada suatu fungsi?
2. Apa peran integral dalam menghitung luas di bawah kurva?
3. Bagaimana jika fungsi $y$ negatif di beberapa interval?
4. Mengapa kita perlu memecah integral jika fungsi berubah tanda?
5. Bagaimana cara menghitung integral dari fungsi polinomial lebih kompleks?

Tip: Saat memeriksa tanda fungsi, evaluasi titik-titik kritis dan pastikan memplot atau menganalisis grafik jika perlu.