Bài toán: Cho tam giác $ABC$, trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = 2 \times BM$. Lấy điểm $N$ là trung điểm của $AC$. Tính diện tích tam giác $AMN$, biết diện tích tam giác $ABC$ là 24 cm².

Giải:

1. Giả thiết: Ta có tam giác $ABC$ với diện tích là $S_{ABC} = 24$ cm². Điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho $AM = 2 \times BM$, tức là $M$ chia cạnh $AB$ theo tỉ lệ $2:1$. Điểm $N$ là trung điểm của cạnh $AC$, tức là $AN = NC$.

2. Vị trí điểm M: Vì $M$ chia cạnh $AB$ theo tỉ lệ $2:1$, nên $\frac{AM}{BM} = 2$. Điều này có nghĩa là điểm $M$ chia cạnh $AB$ thành hai đoạn với tỉ lệ $2:1$, với $AM$ dài gấp đôi $BM$.

3. Diện tích tam giác AMN: Diện tích của tam giác $AMN$ sẽ tỉ lệ với diện tích của tam giác $ABC$. Để tính được diện tích tam giác $AMN$, ta sẽ sử dụng một số đặc điểm về tỉ lệ diện tích trong tam giác.

• Vì $N$ là trung điểm của $AC$, nên đoạn $AN = NC$ chia cạnh $AC$ thành hai phần bằng nhau.
• Điểm $M$ chia cạnh $AB$ theo tỉ lệ $2:1$, nên tam giác $AMN$ sẽ có diện tích tỉ lệ với diện tích tam giác $ABC$.

Tính diện tích tam giác $AMN$:

Diện tích tam giác $AMN$ sẽ tỉ lệ với diện tích tam giác $ABC$ theo tỉ lệ chiều cao tương ứng. Do $M$ chia cạnh $AB$ theo tỉ lệ $2:1$, và $N$ là trung điểm của cạnh $AC$, nên tỉ lệ diện tích giữa tam giác $AMN$ và tam giác $ABC$ là $\frac{1}{6}$.

Do đó, diện tích của tam giác $AMN$ là: $S_{AMN} = \frac{1}{6} \times S_{ABC} = \frac{1}{6} \times 24 = 4 \, \text{cm}^2.$

Kết luận:

Diện tích của tam giác $AMN$ là $4 \, \text{cm}^2$.

---

Bạn có câu hỏi hoặc cần giải thích thêm không?

Các câu hỏi mở rộng:

1. Tại sao điểm $N$ là trung điểm của $AC$ lại ảnh hưởng đến tỉ lệ diện tích tam giác $AMN$?
2. Có thể áp dụng tỉ lệ diện tích này cho các tam giác khác không? Nếu có, thì khi nào?
3. Làm thế nào để chứng minh rằng tỉ lệ diện tích giữa tam giác con và tam giác lớn là $\frac{1}{6}$?
4. Làm thế nào để áp dụng công thức diện tích tam giác khi biết tỉ lệ chia cạnh?
5. Trong trường hợp này, nếu tam giác $ABC$ có diện tích khác, cách tính diện tích tam giác $AMN$ có thay đổi không?

Mẹo: Khi có điểm chia cạnh theo tỉ lệ, diện tích của tam giác con thường tỉ lệ với diện tích tam giác lớn theo bình phương của tỉ lệ chia cạnh.