لفهم كيفية حساب مساحة المثلث $أ ب ج$ بشكل بسيط، دعنا نبدأ بخطوات مرتبة وواضحة.

الخطوات:

1. تحديد المعطيات:

   • $أ ب = 15$ سم (الوتر في المثلث القائم الزاوية).
   • $\tan(\angle أ ب ج) = \frac{3}{4}$.

2. استخدام النسبة المثلثية $\tan$:

   • نعلم أن $\tan(\angle أ ب ج)$ في المثلث القائم الزاوية يساوي: $\tan(\angle أ ب ج) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{ب ج}{أ ج}$
   • وبالتالي: $\frac{ب ج}{أ ج} = \frac{3}{4}$ إذن يمكننا اعتبار $ب ج = 3x$ و $أ ج = 4x$ حيث $x$ هو عدد ثابت نحتاج إلى تحديده.

3. استخدام نظرية فيثاغورس:

   • بما أن المثلث $أ ب ج$ قائم الزاوية في $أ$، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة $x$: $أ ب^2 = أ ج^2 + ب ج^2$ حيث: $15^2 = (4x)^2 + (3x)^2$ $225 = 16x^2 + 9x^2$ $225 = 25x^2$ $x^2 = \frac{225}{25} = 9$ $x = 3$

4. إيجاد أطوال الأضلاع:

   • $أ ج = 4x = 4 \times 3 = 12$ سم.
   • $ب ج = 3x = 3 \times 3 = 9$ سم.

5. حساب مساحة المثلث $أ ب ج$:

   • مساحة المثلث القائم الزاوية تُحسب باستخدام العلاقة: $\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$ في مثلثنا، القاعدة هي $أ ج = 12$ سم، والارتفاع هو $ب ج = 9$ سم. $\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = \frac{1}{2} \times 108 = 54 \text{ سم}^2$

النتيجة:

مساحة المثلث $أ ب ج$ تساوي $54$ سم².

---

هل لديك أي أسئلة أو ترغب في توضيح أي خطوة؟

إليك بعض الأسئلة التي قد تكون مفيدة:

1. كيف يمكن استخدام النسب المثلثية الأخرى مثل $\sin$ أو $\cos$ لحساب الأطوال في مثلث قائم الزاوية؟
2. ما هي الحالات الأخرى التي يمكن فيها استخدام نظرية فيثاغورس؟
3. كيف يمكننا حساب مساحة مثلث إذا كانت لدينا أطوال الأضلاع الثلاثة فقط؟
4. كيف نستخدم الظل العكسي ( $\arctan$ ) لحساب الزوايا إذا كانت لدينا أطوال الأضلاع؟
5. ما هي العلاقة بين مساحة المثلث ونصف القطر الدائري المحيط به؟

نصيحة: عند التعامل مع المسائل الهندسية، من الأفضل دائمًا رسم الشكل لتوضيح الأفكار والمعطيات.