odredite povrsinu paralelograma kojeg odreduju vektori ab i ac i proslog zadatka

Da bismo odredili površinu paralelograma kojeg određuju vektori \(\overrightarrow{AB}\) i \(\overrightarrow{AC}\) iz prošlog zadatka, koristit ćemo vektorski produkt (križni produkt) tih vektora. Površina paralelograma je jednaka normi (duljini) vektorskog produkta dvaju vektora.

### Koraci:

1. **Izračunaj vektorski produkt \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\)**.

   Podsjetimo se vektora iz prošlog zadatka:

   \[
   \overrightarrow{AB} = (1, 0, -3)
   \]
   \[
   \overrightarrow{AC} = (-1, 1, 0)
   \]

   Vektorski produkt dva vektora \(\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)\) i \(\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)\) definira se kao:

   \[
   \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)
   \]

   Izračunajmo vektorski produkt:

   \[
   \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
   \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
   1 & 0 & -3 \\
   -1 & 1 & 0 \\
   \end{vmatrix}
   \]

   \[
   = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1))
   \]

   \[
   = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(1)
   \]

   \[
   = (3, -3, 1)
   \]

2. **Izračunaj normu (duljinu) vektorskog produkta**:

   Površina paralelograma je dana kao norma vektorskog produkta:

   \[
   \text{Površina} = \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\|
   \]

   \[
   \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 1^2}
   \]

   \[
   = \sqrt{9 + 9 + 1}
   \]

   \[
   = \sqrt{19}
   \]

### Zaključak

Površina paralelograma kojeg određuju vektori \(\overrightarrow{AB}\) i \(\overrightarrow{AC}\) iznosi \(\sqrt{19}\).

### Imate li pitanja ili želite dodatne detalje?

### Dodatna pitanja:

1. Kako se izračunava površina trokuta pomoću vektora?
2. Kako vektorski produkt pomaže u određivanju orijentacije prostora?
3. Što znači kada je vektorski produkt dvaju vektora jednak nuli?
4. Koje su razlike između skalarnog i vektorskog produkta?
5. Kako interpretirati normu vektora u kontekstu geometrije?

**Savjet:** Vektorski produkt može se koristiti ne samo za računanje površina nego i za određivanje pravca okomitog na ravninu definiranu dvama vektorima.

Learn how to calculate the area of a parallelogram defined by vectors AB and AC using the vector cross product method. Detailed step-by-step solution with vector formulas and geometric area calculation. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation