Da bismo odredili površinu paralelograma kojeg određuju vektori $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ iz prošlog zadatka, koristit ćemo vektorski produkt (križni produkt) tih vektora. Površina paralelograma je jednaka normi (duljini) vektorskog produkta dvaju vektora.

Koraci:

1. Izračunaj vektorski produkt $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$.

   Podsjetimo se vektora iz prošlog zadatka:

   $\overrightarrow{AB} = (1, 0, -3)$ $\overrightarrow{AC} = (-1, 1, 0)$

   Vektorski produkt dva vektora $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)$ i $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)$ definira se kao:

   $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)$

   Izračunajmo vektorski produkt:

   \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}$$ $$= \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1))$$ $$= \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(1)$$ $$= (3, -3, 1)$$

2. Izračunaj normu (duljinu) vektorskog produkta:

   Površina paralelograma je dana kao norma vektorskog produkta:

   $\text{Površina} = \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\|$

   $\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 1^2}$

   $= \sqrt{9 + 9 + 1}$

   $= \sqrt{19}$

Zaključak

Površina paralelograma kojeg određuju vektori $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ iznosi $\sqrt{19}$.

Imate li pitanja ili želite dodatne detalje?

Dodatna pitanja:

1. Kako se izračunava površina trokuta pomoću vektora?
2. Kako vektorski produkt pomaže u određivanju orijentacije prostora?
3. Što znači kada je vektorski produkt dvaju vektora jednak nuli?
4. Koje su razlike između skalarnog i vektorskog produkta?
5. Kako interpretirati normu vektora u kontekstu geometrije?

Savjet: Vektorski produkt može se koristiti ne samo za računanje površina nego i za određivanje pravca okomitog na ravninu definiranu dvama vektorima.