https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1718275877254auyjkx0q.jpg

А какой ответ правильный? 

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(x=1\), \(y=1\) и \(y=\exp(-x)\), необходимо вычислить определённый интеграл.

1. Найдём точки пересечения линии \(y=\exp(-x)\) с линиями \(x=1\) и \(y=1\):
   - При \(x=1\): \(y=\exp(-1)=\frac{1}{e}\)
   - При \(y=1\): \(\exp(-x)=1 \Rightarrow x=0\)

2. Площадь под графиком \(y=\exp(-x)\) от \(x=0\) до \(x=1\) и выше линии \(y=1\) можно найти по формуле:
   \[
   \text{Площадь} = \int_{0}^{1} (\exp(-x) - 1) \, dx
   \]

3. Решим интеграл:
   \[
   \int_{0}^{1} (\exp(-x) - 1) \, dx = \int_{0}^{1} \exp(-x) \, dx - \int_{0}^{1} 1 \, dx
   \]

   - Вычислим первый интеграл:
     \[
     \int_{0}^{1} \exp(-x) \, dx = [-\exp(-x)]_{0}^{1} = -\exp(-1) + 1 = 1 - \frac{1}{e}
     \]

   - Вычислим второй интеграл:
     \[
     \int_{0}^{1} 1 \, dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1
     \]

   - Итоговый результат:
     \[
     1 - \frac{1}{e} - 1 = -\frac{1}{e}
     \]

4. Так как результат отрицательный, это означает, что нам нужно взять модуль:
   \[
   \text{Площадь} = \frac{1}{e}
   \]

Таким образом, правильный ответ — \(\frac{1}{e}\).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужны разъяснения, пожалуйста, дайте знать. Вот несколько возможных вопросов для вас:
1. Как найти производную функции \(f(x) = \exp(-x)\)?
2. Что такое определённый интеграл и как он вычисляется?
3. Как построить график функции \(y = \exp(-x)\)?
4. Как интерпретировать площадь под кривой в контексте приложений?
5. Какие ещё методы существуют для нахождения площади фигуры?

Learn how to calculate the area bounded by the lines x=1, y=1, and the curve y=exp(-x) using definite integrals and exponential functions. This problem involves integral calculus, the fundamental theorem of calculus, and is suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation