Um den Flächeninhalt $A$ zwischen den beiden Funktionen $f(x) = x^2 - 6x + 8$ und $g(x) = 8$ im Bereich $0 \leq x \leq 6$ zu berechnen, folgen wir diesen Schritten:

1. Bestimmung der Schnittpunkte der Funktionen: Wir setzen $f(x)$ und $g(x)$ gleich, um die Schnittpunkte zu finden: $x^2 - 6x + 8 = 8$ $x^2 - 6x = 0$ $x(x - 6) = 0$ $x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 6$

   Die Funktionen schneiden sich also bei $x = 0$ und $x = 6$.

2. Bestimmung der Differenz der Funktionen: Der Flächeninhalt zwischen den Funktionen ist die Integration der Differenz $g(x) - f(x)$ über das Intervall von 0 bis 6: $g(x) - f(x) = 8 - (x^2 - 6x + 8) = -x^2 + 6x$

3. Integration der Differenzfunktion: Wir integrieren die Funktion $-x^2 + 6x$ von 0 bis 6: $A = \int_{0}^{6} (-x^2 + 6x) \, dx$

4. Berechnung des Integrals: Zuerst bestimmen wir die Stammfunktion von $-x^2 + 6x$: $\int (-x^2 + 6x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 + C$

   Wir setzen die Grenzen ein: $A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{6}$ $A = \left( -\frac{6^3}{3} + 3 \cdot 6^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 \right)$ $A = \left( -\frac{216}{3} + 108 \right) - (0)$ $A = (-72 + 108)$ $A = 36$

Der Flächeninhalt $A$ zwischen den beiden Funktionen im gegebenen Bereich ist also $36$ Flächeneinheiten.

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Hier sind 8 verwandte Fragen zur Vertiefung:

1. Was sind die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2 - 6x + 8$?
2. Wie ändert sich der Flächeninhalt, wenn die obere Grenze des Integrationsbereichs von 6 auf 8 verschoben wird?
3. Wie würde man den Flächeninhalt berechnen, wenn $g(x) = 10$ anstelle von $g(x) = 8$ wäre?
4. Wie bestimmt man die Extremwerte der Funktion $f(x) = x^2 - 6x + 8$?
5. Wie berechnet man die Ableitung von $f(x) = x^2 - 6x + 8$?
6. Wie integriert man eine Funktion der Form $ax^2 + bx + c$?
7. Was ist das geometrische Bedeutungs des bestimmten Integrals?
8. Wie würde der Flächeninhalt aussehen, wenn die Funktionen in einem anderen Intervall, z.B. $-2 \leq x \leq 2$, betrachtet würden?

Tipp: Beim Integrieren ist es hilfreich, zunächst die Stammfunktion zu bestimmen und danach die Grenzen einzusetzen.