Berechnen Sie den Flächeninhalt A zwischen den beiden Funktionen f(x)=x2−6x+8 und g(x)=8 im Bereich 0≤x≤6

Um den Flächeninhalt \( A \) zwischen den beiden Funktionen \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) und \( g(x) = 8 \) im Bereich \( 0 \leq x \leq 6 \) zu berechnen, folgen wir diesen Schritten:

1. **Bestimmung der Schnittpunkte der Funktionen:**
   Wir setzen \( f(x) \) und \( g(x) \) gleich, um die Schnittpunkte zu finden:
   \[
   x^2 - 6x + 8 = 8
   \]
   \[
   x^2 - 6x = 0
   \]
   \[
   x(x - 6) = 0
   \]
   \[
   x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 6
   \]

   Die Funktionen schneiden sich also bei \( x = 0 \) und \( x = 6 \).

2. **Bestimmung der Differenz der Funktionen:**
   Der Flächeninhalt zwischen den Funktionen ist die Integration der Differenz \( g(x) - f(x) \) über das Intervall von 0 bis 6:
   \[
   g(x) - f(x) = 8 - (x^2 - 6x + 8) = -x^2 + 6x
   \]

3. **Integration der Differenzfunktion:**
   Wir integrieren die Funktion \(-x^2 + 6x\) von 0 bis 6:
   \[
   A = \int_{0}^{6} (-x^2 + 6x) \, dx
   \]

4. **Berechnung des Integrals:**
   Zuerst bestimmen wir die Stammfunktion von \(-x^2 + 6x\):
   \[
   \int (-x^2 + 6x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 + C
   \]

   Wir setzen die Grenzen ein:
   \[
   A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{6}
   \]
   \[
   A = \left( -\frac{6^3}{3} + 3 \cdot 6^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 \right)
   \]
   \[
   A = \left( -\frac{216}{3} + 108 \right) - (0)
   \]
   \[
   A = (-72 + 108)
   \]
   \[
   A = 36
   \]

Der Flächeninhalt \( A \) zwischen den beiden Funktionen im gegebenen Bereich ist also \( 36 \) Flächeneinheiten.

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Hier sind 8 verwandte Fragen zur Vertiefung:

1. Was sind die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \)?
2. Wie ändert sich der Flächeninhalt, wenn die obere Grenze des Integrationsbereichs von 6 auf 8 verschoben wird?
3. Wie würde man den Flächeninhalt berechnen, wenn \( g(x) = 10 \) anstelle von \( g(x) = 8 \) wäre?
4. Wie bestimmt man die Extremwerte der Funktion \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \)?
5. Wie berechnet man die Ableitung von \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \)?
6. Wie integriert man eine Funktion der Form \( ax^2 + bx + c \)?
7. Was ist das geometrische Bedeutungs des bestimmten Integrals?
8. Wie würde der Flächeninhalt aussehen, wenn die Funktionen in einem anderen Intervall, z.B. \( -2 \leq x \leq 2 \), betrachtet würden?

**Tipp:** Beim Integrieren ist es hilfreich, zunächst die Stammfunktion zu bestimmen und danach die Grenzen einzusetzen.

Learn how to calculate the area between the functions f(x)=x^2−6x+8 and g(x)=8 over the interval [0, 6]. This problem involves integration of polynomial functions and finding the area bounded by curves in calculus. Suitable for students in Grades 10-12.

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