Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями $y = -x^2 - 6x + 7$ и $y = -x + 7$, нужно выполнить следующие шаги:

---

1. Найти точки пересечения кривых

Для этого приравняем $y$-координаты:

$-x^2 - 6x + 7 = -x + 7.$

Упростим уравнение:

$-x^2 - 6x + x + 7 - 7 = 0,$

$-x^2 - 5x = 0.$

Вынесем $-x$ за скобки:

$-x(x + 5) = 0.$

Отсюда $x = 0$ и $x = -5$.

Точки пересечения: $(0, 7)$ и $(-5, 12)$.

---

2. Выразить площадь через определенный интеграл

Фигура ограничена сверху прямой $y = -x + 7$, а снизу параболой $y = -x^2 - 6x + 7$. Формула для площади:

$S = \int_{x_1}^{x_2} \big[ f_{\text{верхняя}}(x) - f_{\text{нижняя}}(x) \big] \, dx.$

Подставим функции и пределы интегрирования ($x_1 = -5$, $x_2 = 0$):

$S = \int_{-5}^{0} \big[ (-x + 7) - (-x^2 - 6x + 7) \big] \, dx.$

Упростим выражение под интегралом:

$S = \int_{-5}^{0} \big[ -x + 7 + x^2 + 6x - 7 \big] \, dx,$

$S = \int_{-5}^{0} \big[ x^2 + 5x \big] \, dx.$

---

3. Вычислить интеграл

Рассчитаем интеграл:

$\int (x^2 + 5x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + C.$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} \right]_{-5}^{0}.$

При $x = 0$:

$\frac{(0)^3}{3} + \frac{5(0)^2}{2} = 0.$

При $x = -5$:

$\frac{(-5)^3}{3} + \frac{5(-5)^2}{2} = \frac{-125}{3} + \frac{5 \cdot 25}{2} = \frac{-125}{3} + \frac{125}{2}.$

Приведем к общему знаменателю ($6$):

$\frac{-125}{3} = \frac{-250}{6}, \quad \frac{125}{2} = \frac{375}{6}.$

$S = \left| 0 - \left( \frac{-250}{6} + \frac{375}{6} \right) \right| = \left| \frac{125}{6} \right|.$

$S = \frac{125}{6}.$

---

4. Ответ

Площадь фигуры:

$S = \frac{125}{6} \approx 20.83 \, \text{единиц площади}.$

---

5. Построение графика

1. Построим график параболы $y = -x^2 - 6x + 7$.
2. Построим прямую $y = -x + 7$.
3. Отметим точки пересечения $(-5, 12)$ и $(0, 7)$.
4. Закрасим область между кривыми на интервале $x \in [-5, 0]$.

---

Если хотите, я могу создать чертеж. Хотите увидеть его?

---

Вопросы для расширения:

1. Что такое определенный интеграл, и как он связан с вычислением площади?
2. Как отличить верхнюю и нижнюю функцию при работе с кривыми?
3. Почему пределы интегрирования равны $x = -5$ и $x = 0$?
4. Что делать, если функции пересекаются более чем в двух точках?
5. Как вычислить площадь, если одна из границ — горизонтальная прямая?

---

Совет: Всегда проверяйте, какая из функций является верхней на заданном интервале, чтобы избежать ошибки в знаке площади.