Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла Задание Вычислите площади фигур, ограниченных заданными линиями. Сделать чертеж. Y=-x^2-6x+7 Y=-x+7

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями \( y = -x^2 - 6x + 7 \) и \( y = -x + 7 \), нужно выполнить следующие шаги:

---

### 1. **Найти точки пересечения кривых**
Для этого приравняем \( y \)-координаты:

\[
-x^2 - 6x + 7 = -x + 7.
\]

Упростим уравнение:

\[
-x^2 - 6x + x + 7 - 7 = 0,
\]

\[
-x^2 - 5x = 0.
\]

Вынесем \( -x \) за скобки:

\[
-x(x + 5) = 0.
\]

Отсюда \( x = 0 \) и \( x = -5 \).

Точки пересечения: \( (0, 7) \) и \( (-5, 12) \).

---

### 2. **Выразить площадь через определенный интеграл**
Фигура ограничена сверху прямой \( y = -x + 7 \), а снизу параболой \( y = -x^2 - 6x + 7 \). Формула для площади:

\[
S = \int_{x_1}^{x_2} \big[ f_{\text{верхняя}}(x) - f_{\text{нижняя}}(x) \big] \, dx.
\]

Подставим функции и пределы интегрирования (\( x_1 = -5 \), \( x_2 = 0 \)):

\[
S = \int_{-5}^{0} \big[ (-x + 7) - (-x^2 - 6x + 7) \big] \, dx.
\]

Упростим выражение под интегралом:

\[
S = \int_{-5}^{0} \big[ -x + 7 + x^2 + 6x - 7 \big] \, dx,
\]

\[
S = \int_{-5}^{0} \big[ x^2 + 5x \big] \, dx.
\]

---

### 3. **Вычислить интеграл**
Рассчитаем интеграл:

\[
\int (x^2 + 5x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + C.
\]

Подставим пределы интегрирования:

\[
S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} \right]_{-5}^{0}.
\]

При \( x = 0 \):

\[
\frac{(0)^3}{3} + \frac{5(0)^2}{2} = 0.
\]

При \( x = -5 \):

\[
\frac{(-5)^3}{3} + \frac{5(-5)^2}{2} = \frac{-125}{3} + \frac{5 \cdot 25}{2} = \frac{-125}{3} + \frac{125}{2}.
\]

Приведем к общему знаменателю (\( 6 \)):

\[
\frac{-125}{3} = \frac{-250}{6}, \quad \frac{125}{2} = \frac{375}{6}.
\]

\[
S = \left| 0 - \left( \frac{-250}{6} + \frac{375}{6} \right) \right| = \left| \frac{125}{6} \right|.
\]

\[
S = \frac{125}{6}.
\]

---

### 4. **Ответ**
Площадь фигуры:

\[
S = \frac{125}{6} \approx 20.83 \, \text{единиц площади}.
\]

---

### 5. **Построение графика**
1. Построим график параболы \( y = -x^2 - 6x + 7 \).
2. Построим прямую \( y = -x + 7 \).
3. Отметим точки пересечения \( (-5, 12) \) и \( (0, 7) \).
4. Закрасим область между кривыми на интервале \( x \in [-5, 0] \).

---

Если хотите, я могу создать чертеж. Хотите увидеть его?

---

### Вопросы для расширения:
1. Что такое определенный интеграл, и как он связан с вычислением площади?
2. Как отличить верхнюю и нижнюю функцию при работе с кривыми?
3. Почему пределы интегрирования равны \( x = -5 \) и \( x = 0 \)?
4. Что делать, если функции пересекаются более чем в двух точках?
5. Как вычислить площадь, если одна из границ — горизонтальная прямая?

---

**Совет:** Всегда проверяйте, какая из функций является верхней на заданном интервале, чтобы избежать ошибки в знаке площади.

Learn how to calculate the area of a region bounded by the curves y = -x^2 - 6x + 7 and y = -x + 7 using definite integrals. This step-by-step solution includes finding points of intersection, setting up integrals, and solving them. Suitable for Grades 10-12 students exploring integral calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation