Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми $y = -x^2 - 6x + 7$ и $y = -x + 7$, нужно:

1. Найти точки пересечения этих двух кривых, решив систему уравнений: $-x^2 - 6x + 7 = -x + 7$
2. Вычислить определённый интеграл, который даст площадь между графиками.

Шаг 1: Поиск точек пересечения

Решим уравнение: $-x^2 - 6x + 7 = -x + 7$ Упростим его: $-x^2 - 6x + 7 + x - 7 = 0$ $-x^2 - 5x = 0$ Вынесем общий множитель: $-x(x + 5) = 0$ Отсюда получаем два решения: $x = 0 \quad \text{или} \quad x = -5$ Таким образом, точки пересечения находятся при $x = 0$ и $x = -5$.

Шаг 2: Вычисление площади

Теперь нужно найти площадь, ограниченную кривыми между этими точками $x = -5$ и $x = 0$. Площадь можно вычислить через определённый интеграл разности функций: $S = \int_{-5}^{0} \left[ (-x + 7) - (-x^2 - 6x + 7) \right] \, dx$ Упростим выражение внутри интеграла: $S = \int_{-5}^{0} \left[ -x + 7 + x^2 + 6x - 7 \right] \, dx$ $S = \int_{-5}^{0} (x^2 + 5x) \, dx$

Теперь вычислим этот интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} \right]_{-5}^{0}$

Подставим пределы: $S = \left( \frac{0^3}{3} + \frac{5 \cdot 0^2}{2} \right) - \left( \frac{(-5)^3}{3} + \frac{5 \cdot (-5)^2}{2} \right)$ $S = 0 - \left( \frac{-125}{3} + \frac{5 \cdot 25}{2} \right)$ $S = 0 - \left( \frac{-125}{3} + \frac{125}{2} \right)$ Найдем общий знаменатель для дробей: $S = - \left( \frac{-250}{6} + \frac{375}{6} \right)$ $S = - \left( \frac{125}{6} \right)$ $S = \frac{125}{6}$

Ответ: площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций, равна $\frac{125}{6}$ единиц площади.

---

Если вам нужно, я могу сделать чертеж этих функций и их пересечений. Хотите ли вы его?

---

Дополнительные вопросы:

1. Как находить площадь между графиками функций для других типов уравнений?
2. Какие методы можно использовать для численного интегрирования?
3. Что происходит, если функции не пересекаются?
4. Как решать задачи, если кривые не дают простых аналитических решений?
5. Как связаны интегралы и геометрические понятия площади?

Совет: Важно всегда уметь проверять корректность вычислений, особенно при работе с дробями и пределами.