Math Problem Statement

در یک سامانه جرم فنر دامنه حرکت ۵cmاست و ۵ دقیقه مسافت ۳۰ متر را طی می‌کند. بسامد زاویه این حرکت چند رادیان بر ثانیه است نوسانگر در

Solution

برای پیدا کردن بسامد زاویه‌ای یک حرکت نوسانی در سیستم جرم-فنر، ابتدا باید چند نکته را مشخص کنیم و از رابطه‌های مناسب استفاده کنیم.

در این سوال، اطلاعات داده‌شده به شرح زیر است:

  • دامنه حرکت A=5cm=0.05mA = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}
  • مسافت طی شده در 5 دقیقه d=30md = 30 \, \text{m}
  • زمان طی شده t=5min=300sect = 5 \, \text{min} = 300 \, \text{sec}

گام اول: محاسبه تعداد نوسان‌ها

برای شروع، باید بدانیم که تعداد نوسان‌هایی که در مدت 300 ثانیه اتفاق می‌افتد چقدر است. برای این منظور از این رابطه استفاده می‌کنیم:

مسافت طی شده در یک نوسان=4A\text{مسافت طی شده در یک نوسان} = 4A

چرا که در یک نوسان کامل، جرم از یک نقطه به نقطه مخالف می‌رود و دوباره به نقطه اولیه باز می‌گردد (یعنی از دامنه مثبت به منفی و برعکس).

مسافت طی شده در 5 دقیقه برابر با 30m30 \, \text{m} است، بنابراین تعداد نوسان‌ها (که تعداد حرکت‌های کامل است) به شکل زیر محاسبه می‌شود:

تعداد نوسان‌ها=304×0.05=300.2=150نوسان\text{تعداد نوسان‌ها} = \frac{30}{4 \times 0.05} = \frac{30}{0.2} = 150 \, \text{نوسان}

گام دوم: محاسبه بسامد

بسامد ff عبارت است از تعداد نوسان‌ها در هر ثانیه، بنابراین:

f=تعداد نوسان‌هازمان=150300=0.5Hzf = \frac{\text{تعداد نوسان‌ها}}{\text{زمان}} = \frac{150}{300} = 0.5 \, \text{Hz}

گام سوم: محاسبه بسامد زاویه‌ای

بسامد زاویه‌ای ω\omega از رابطه زیر به دست می‌آید:

ω=2πf\omega = 2 \pi f

با جایگذاری f=0.5Hzf = 0.5 \, \text{Hz}:

ω=2π×0.5=πرادیان بر ثانیه\omega = 2 \pi \times 0.5 = \pi \, \text{رادیان بر ثانیه}

نتیجه نهایی

بسامد زاویه‌ای این حرکت نوسانی ω=πرادیان بر ثانیه\omega = \pi \, \text{رادیان بر ثانیه} است.

اگر به توضیحات بیشتر یا سوالات بیشتری نیاز دارید، بفرمایید!

سوالات تکمیلی:

  1. چگونه می‌توان بسامد زاویه‌ای را برای یک سیستم جرم-فنر دیگر محاسبه کرد؟
  2. تفاوت بسامد خطی و بسامد زاویه‌ای چیست؟
  3. چرا مسافت طی شده در یک نوسان برابر با 4A4A است؟
  4. چه عواملی در تغییر بسامد حرکت نوسانی تاثیر دارند؟
  5. چگونه می‌توان سرعت و شتاب در حرکت نوسانی را محاسبه کرد؟

نکته: برای محاسبه‌ی دقیق‌تر در مسائل حرکت نوسانی، می‌توان از معادلات دیفرانسیل حرکت استفاده کرد که وابسته به پارامترهایی مانند ثابت فنر و جرم است.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Oscillatory Motion
Frequency
Angular Frequency
Simple Harmonic Motion

Formulas

Total distance traveled in one oscillation = 4A
Frequency formula: f = Number of oscillations / Time
Angular frequency formula: ω = 2πf

Theorems

Simple Harmonic Motion Principles

Suitable Grade Level

Grades 10-12