Para encontrar un vector ortogonal a los vectores $\mathbf{A} = (1, 2, -3)$ y $\mathbf{B} = (2, -1, 3)$, debemos calcular el producto cruzado (o producto vectorial) de $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$. El producto cruzado de dos vectores en tres dimensiones se define como:

$\mathbf{C} = \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{matrix} \right|$

Realizando el cálculo del determinante:

$\mathbf{C} = \hat{i} \left( \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \right) - \hat{j} \left( \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \right) + \hat{k} \left( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \right)$

$= \hat{i} \left( 2(3) - (-3)(-1) \right) - \hat{j} \left( 1(3) - (-3)(2) \right) + \hat{k} \left( 1(-1) - 2(2) \right)$

$= \hat{i} \left( 6 - 3 \right) - \hat{j} \left( 3 + 6 \right) + \hat{k} \left( -1 - 4 \right)$

$= \hat{i}(3) - \hat{j}(9) + \hat{k}(-5)$

Por lo tanto, el vector ortogonal $\mathbf{C}$ es:

$\mathbf{C} = (3, -9, -5)$

Este es un vector ortogonal a los vectores $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$.

¿Te gustaría más detalle sobre el cálculo o tienes alguna otra pregunta?

1. ¿Qué propiedades tiene el producto cruzado?
2. ¿Cómo se interpreta geométricamente el producto cruzado?
3. ¿Cómo determinar si dos vectores son ortogonales?
4. ¿Qué sucede si el producto cruzado de dos vectores es el vector cero?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tiene el producto cruzado en la física o la ingeniería?

Consejo: El producto cruzado de dos vectores siempre es perpendicular a ambos vectores originales.