برای پاسخ به این سوال، ابتدا باید احتمال ظاهر شدن هر یک از اعداد روی تاس را مشخص کنیم.

مرحله 1: احتمال وقوع هر حالت

فرض کنیم احتمال ظاهر شدن عدد $2$ برابر $3p$ است و احتمال ظاهر شدن سایر اعداد برابر $p$. چون تاس شش وجه دارد، جمع احتمالات باید برابر $1$ باشد:

$3p + 5p = 1 \implies 8p = 1 \implies p = \frac{1}{8}.$

بنابراین:

• احتمال ظاهر شدن عدد $2$: $P(2) = 3p = \frac{3}{8}$,
• احتمال ظاهر شدن سایر اعداد (مثلاً عدد $1$): $P(1) = p = \frac{1}{8}$.

---

تابع توزیع دوجمله‌ای

توزیع دوجمله‌ای به صورت زیر تعریف می‌شود: $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},$ که در آن:

• $n$ تعداد دفعات تکرار آزمایش است (اینجا $n = 10$),
• $k$ تعداد موفقیت‌ها است (ظاهر شدن عدد مشخص),
• $p$ احتمال موفقیت در هر آزمایش.

---

بخش (a): سه مرتبه عدد $1$ ظاهر شود.

برای این بخش:

• $n = 10$,
• $k = 3$,
• $p = \frac{1}{8}$.

احتمال ظاهر نشدن عدد $1$ (یعنی شکست) برابر است با: $1 - p = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.$

احتمال سه مرتبه ظاهر شدن عدد $1$ برابر است با: $P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^3 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^7.$

حساب کنیم: $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120.$

بنابراین: $P(X = 3) = 120 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^3 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^7.$

---

بخش (b): سه مرتبه عدد $2$ ظاهر شود.

برای این بخش:

• $n = 10$,
• $k = 3$,
• $p = \frac{3}{8}$.

احتمال ظاهر نشدن عدد $2$ برابر است با: $1 - p = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.$

احتمال سه مرتبه ظاهر شدن عدد $2$ برابر است با: $P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^7.$

---

محاسبات نهایی

برای محاسبه دقیق‌تر مقادیر عددی، می‌توان از ماشین حساب یا نرم‌افزار استفاده کرد. آیا نیاز به محاسبه عددی دارید؟

---

سوالات مرتبط:

1. آیا می‌توانید روش حل مسئله را توضیح دهید؟
2. آیا می‌خواهید به جای عدد $3$، تعداد دیگری بررسی شود؟
3. چگونه می‌توان توزیع احتمال کل را برای هر $k$ محاسبه کرد؟
4. آیا می‌خواهید نمودار توزیع دوجمله‌ای برای این مسئله رسم شود؟
5. چگونه می‌توانیم از نرم‌افزارهایی مثل اکسل یا پایتون برای محاسبه دقیق استفاده کنیم؟

نکته:

برای مسائل مربوط به توزیع‌های احتمال، بهتر است از نرم‌افزارهای آماری برای انجام محاسبات پیچیده استفاده کنید تا از دقت بالا برخوردار شوید.