Для решения данных задач можно использовать формулу биномиального распределения. Биномиальное распределение описывает вероятность того, что при независимых испытаниях, каждый из которых имеет два возможных исхода (например, "успех" или "неудача"), заданное количество успехов будет достигнуто за несколько испытаний.

Формула биномиального распределения имеет вид:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$

где:

• $n$ — общее количество испытаний,
• $k$ — количество успешных исходов (выпадений нужного числа),
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании (для кубика вероятность выпадения одной определённой цифры, например, 3 или 4, равна $\frac{1}{6}$),
• $\binom{n}{k}$ — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$

---

Пример 1:

Условия задачи: Игральную кость бросают 80 раз. Необходимо найти вероятность того, что цифра 3 выпадет 20 раз.

• $n = 80$ (всего бросков),
• $k = 20$ (нужно, чтобы 3 выпала 20 раз),
• $p = \frac{1}{6}$ (вероятность выпадения числа 3 при одном броске).

Подставим эти значения в формулу биномиального распределения:

$P(X = 20) = \binom{80}{20} \left( \frac{1}{6} \right)^{20} \left( 1 - \frac{1}{6} \right)^{80 - 20}$

Пример 2:

Условия задачи: Игральный кубик бросают 8 раз. Нужно найти вероятность того, что выпадет 4 очка три раза.

• $n = 8$ (всего бросков),
• $k = 3$ (нужно, чтобы 4 выпала 3 раза),
• $p = \frac{1}{6}$ (вероятность выпадения 4 при одном броске).

Подставим в формулу биномиального распределения:

$P(X = 3) = \binom{8}{3} \left( \frac{1}{6} \right)^3 \left( 1 - \frac{1}{6} \right)^{8 - 3}$

Теперь вам нужно вычислить биномиальные коэффициенты и остальные составляющие для каждого примера.

Хочешь, чтобы я завершил вычисления для этих задач и дал точный ответ?