a) Polynomilausekkeen $(x + 2)^5$ laajentaminen Newtonin binomikaavan avulla

Newtonin binomikaava on seuraava:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Tässä tapauksessa $a = x$, $b = 2$, ja $n = 5$. Lasketaan laajennus:

$(x + 2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} 2^k$

Lasketaan jokainen termi erikseen:

• $k = 0$: $\binom{5}{0} x^{5} 2^0 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 = x^5$
• $k = 1$: $\binom{5}{1} x^{4} 2^1 = 5 \cdot x^4 \cdot 2 = 10x^4$
• $k = 2$: $\binom{5}{2} x^{3} 2^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 4 = 40x^3$
• $k = 3$: $\binom{5}{3} x^{2} 2^3 = 10 \cdot x^2 \cdot 8 = 80x^2$
• $k = 4$: $\binom{5}{4} x^{1} 2^4 = 5 \cdot x \cdot 16 = 80x$
• $k = 5$: $\binom{5}{5} x^{0} 2^5 = 1 \cdot 1 \cdot 32 = 32$

Yhdistämällä nämä kaikki, saamme:

$(x + 2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

b) Laskeminen $11^4$ Newtonin binomikaavalla

Voimme käyttää binomikaavaa muotoon $(10 + 1)^4$. Näin saamme:

$(10 + 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 10^{4-k} 1^k$

Lasketaan jokainen termi:

• $k = 0$: $\binom{4}{0} 10^4 1^0 = 1 \cdot 10000 \cdot 1 = 10000$
• $k = 1$: $\binom{4}{1} 10^3 1^1 = 4 \cdot 1000 \cdot 1 = 4000$
• $k = 2$: $\binom{4}{2} 10^2 1^2 = 6 \cdot 100 \cdot 1 = 600$
• $k = 3$: $\binom{4}{3} 10^1 1^3 = 4 \cdot 10 \cdot 1 = 40$
• $k = 4$: $\binom{4}{4} 10^0 1^4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Yhdistämällä kaikki nämä, saamme:

$(10 + 1)^4 = 10000 + 4000 + 600 + 40 + 1 = 14641$

Joten:

$11^4 = 14641$

---

Halutessasi voin tarjota tarkempia yksityiskohtia, tai voin vastata kysymyksiisi tästä aiheesta!

Tässä myös muutama liittyvä kysymys:

1. Miten voimme laajentaa binomikaaren suuremmille potensseille?
2. Miten binomikaavaa voidaan käyttää esimerkiksi tulojen laskemiseen polynomeista?
3. Miten käytämme binomikaavaa rajoitettujen summien laskemiseen?
4. Miten laskemme suurempien binominlaajennusten avulla yleisiä polynomikysymyksiä?
5. Miten Newtonin binomikaava liittyy matemaattisiin sarjoihin?

Vinkki: Binomikaaren laajentaminen voi tuntua vaikealta, mutta muista aina käyttää kaavan perusmuotoa ja laskea jokainen termi huolellisesti!