Kysymykseesi: Onko olemassa bijektiota $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, joka ei ole koko joukossa $\mathbb{R}$ ei vähenevä eikä kasvava?

Vastaus on kyllä, on olemassa tällaisia bijektioita!

Selitetään tarkemmin:

Kasvava funktio tarkoittaa, että jos $x_1 < x_2$, niin $f(x_1) \leq f(x_2)$, ja vähenevä funktio tarkoittaa, että jos $x_1 < x_2$, niin $f(x_1) \geq f(x_2)$. Näitä kutsutaan myös monotoonisiksi funktioiksi.

Jos funktio ei ole kasvava eikä vähenevä, se ei täytä näitä ehtoja koko joukossa. Toisin sanoen, funktio voi "vaihdella" eli nousta ja laskea eri osissa määrittelyjoukkoa, mutta silti olla bijektio.

Esimerkki tällaisesta bijektiosta on sinifunktio, joka on rajoitettu ja määritelty tietyille osille reaalilukuja. Tällöin funktio voi olla bijektio, mutta sillä voi olla jaksollisia nousuja ja laskuja, mikä estää sen olemasta kasvava tai vähenevä koko joukossa.

Toinen esimerkki voisi olla funktio, joka on jatkuva ja bijektio, mutta sillä on useampia käännekohtia, kuten seuraava funktio:

$f(x) = \tan^{-1}(x)$

Tämä funktio on bijektio $\mathbb{R}$ välillä $(-\infty, \infty)$, mutta se ei ole yksinomaan kasvava tai vähenevä koko joukossa, vaan sillä on tietyissä kohdissa käänteitä.

---

Haluatko lisätietoja bijektioiden ominaisuuksista tai esimerkkejä muista vastaavista funktioista?

Tässä on 5 kysymystä, jotka laajentavat aihetta:

1. Miten monotoonisuus vaikuttaa bijektion olemukseen?
2. Mikä on bijektion määritelmä ja mitä ehtoja sen täytyy täyttää?
3. Mikä ero on yksikäsitteisellä ja ei-yksikäsitteisellä funktiolla?
4. Voiko bijektio olla ei-jatkuva?
5. Millaisia ominaisuuksia täytyy olla, jotta funktio on invertible (käännettävä)?

Vinkki:

Monotonisuus ja bijektio eivät ole toisiaan poissulkevia, mutta on tärkeää ymmärtää, että bijektio voi olla monimutkaisempi kuin pelkkä monotoninen muoto.