KylläK,yllä, on olemassa bijektio ( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ on), olem joka ei ole kaikkassa bijiallaektio väheneitavä eikä ( f kasvava. Y : \ksi tällmathbb{Rainen es} \imerkkirightarrow \ on:

mathbb{R[ }f (x),) jotka = \ eivätbegin ole koko{ joukcasesossa} vähxeneviä eikä kasvavia.

Es + imerk1ki, täll &ais \textesta{ bijjosek }ti xosta \ voisige ollaq fun kt0io \ :

\x[

• f1(x,) & = \ \textbegin{{casesjos } x} < x0 + \1end &{ \textcases{} kun\ } x]

T \geqämä funkt 0io \ on bij
ektxio - ,1 & sillä jok \aiselletext reaal{kuniluvulle löytyy } tä x < sm0älle en\end{cases} ]

Tämä funktio on bijektio yksi, kuva koska:

-arvo1. ja Se jok onainen inj reektaalioil (uku kuuluueri läht kuvaö-aluejoukoneseen al.ki Tarkastot kuvellaanaut funuvatkti eriota kuva tark-emminalk:

-ioiksi Jos). (2 x. \ Sege onq sur jekt0io \ (),j niinok (ais felle(x () y = \ xin + \ mathbb{1R }), \ eli) fun löytyykt ainakinio yksi on ( kasv xava \ tälläin välillä . math-bb Jos{ (R x} < \ ),0 j \olle), ( niin f ((x f)(x =) y = \ x)) -.

Lis1äksi \ fun),kt eliio fun eikt oleio koko on jouk vähossaene kasvväava tällä eikä välillä väh.

eneKosväka, fun koskakt senio käyttäytyminen muuttuu pisteessä mu $xuttaa = 0$.

Haluatko lisätietoja käyttä tästä aiheesta tai tarkempiayty esmistimerkkeään ( xjä?

** =K 0ysymy \ksiä) kohd pohalladitt, seav eiaksi ole:**

1. Mitä tarkoittaa, että kaikk funiallakt vähioene onvä bij eikäekt kaikkioialla? kasv2ava., Mikä ero on injektiolla ja surjektiolla? mutta3 se. on Vo silikoti bijekt bijio.

ektio olla myösH jaluaksaisitollinenko fun tarkempktiaio? perusteluja4. M taiiten muita mää esritimerkellkeäänjä monoton?isuus

reaalifKysunktymyiksiäolle poh? d5itt.av Onaksiko: olem

assa1 bij.ek Mittiäota eht, jokaoja bij onek sekäti jatkuivvainen että fun eikt monotonioinen tä?

yttääV,ink jottaki se: on Bij injektionekt olemioassa jaolo surjekt eiio ri? ipu2 fun.kti Voolleiko aset bijektetuioista jatku ollavu jusaksollvaatiminenuks? Mikista,si vaan siitä, että jokainen alkio lähtöjou taik mikostasi kuv eiaut? uu täsmälleen3. yh Millteenainen alkioon olisi koh bijektdejio, joka onoukossa ja päinv sekäast kasvoinava. että vähenevä eri alueilla, mutta silti jatkuva? 4. Miten määrittelisit funktiolle käänteisfunktion, jos se ei ole monotoninen? 5. Voiko bijektio sisältää epäjatkuvuuskohtia?

Vinkki: Kun tutkitaan bijektiivisten funktioiden ominaisuuksia, kannattaa aina tarkistaa sekä injektio- että surjektioehdot erikseen.