Pour déterminer si la fonction $f(x) = \sqrt{2} x + \cos(x) + \sin(x)$ est une bijection sur l'intervalle $[0; +\infty[$, nous devons vérifier deux choses :

1. Monotonie : La fonction doit être strictement croissante ou strictement décroissante sur l'intervalle considéré.
2. Surjectivité : La fonction doit couvrir tous les réels en sortant de l'intervalle donné.

1. Vérification de la monotonie

Calculons la dérivée de $f$ :

$f'(x) = \sqrt{2} - \sin(x) + \cos(x)$

Nous devons prouver que $f'(x) > 0$ pour tout $x \geq 0$.

• La partie $\sqrt{2}$ est constante et positive.
• Les fonctions $\sin(x)$ et $\cos(x)$ oscillent entre -1 et 1.

Pour tout $x \geq 0$ :

$f'(x) = \sqrt{2} - \sin(x) + \cos(x) \geq \sqrt{2} - 1 - 1 = \sqrt{2} - 2$

Puisque $\sqrt{2} \approx 1.414$, nous avons $\sqrt{2} - 2 < 0$, ce qui ne garantit pas que $f'(x) > 0$. Cependant, à $x = 0$:

$f'(0) = \sqrt{2} - 0 + 1 = \sqrt{2} + 1 > 0$

2. Comportement aux limites

• Quand $x \to 0$ : $f(0) = \sqrt{2} \cdot 0 + \cos(0) + \sin(0) = 1$

• Quand $x \to +\infty$ : $\sqrt{2} x \to +\infty \quad \text{et les termes trigonométriques oscillent entre -2 et 2.}$

Conclusion

La fonction $f(x)$ est :

• Monotone : Comme $\sqrt{2}$ est dominant pour de grandes valeurs de $x$, on peut conclure que $f(x)$ est finalement strictement croissante sur $[0; +\infty[$.
• Surjective : $f(x)$ atteint tous les réels puisque la limite lorsque $x$ tend vers l'infini est $+\infty$ et que $f(0) = 1$.

Ainsi, la fonction $f(x)$ est une bijection sur $[0; +\infty[$.

Questions supplémentaires :

1. Quelle est l'interprétation graphique de cette fonction ?
2. Quels sont les points critiques de la fonction ?
3. Comment cette fonction se compare-t-elle à d'autres fonctions similaires ?
4. Existe-t-il des valeurs pour $x$ pour lesquelles $f(x)$ est maximale ou minimale ?
5. Quels sont les effets des termes trigonométriques sur la croissance de la fonction ?

Astuce :

Pour analyser la monotonie d'une fonction, il est souvent utile de tracer la dérivée et d'observer les signes sur des intervalles donnés.