Pour résoudre ce problème, nous utiliserons la formule de Bayes, qui permet de calculer une probabilité conditionnelle.

Notations et Hypothèses :

1. $P(K) = p$: Probabilité que l'étudiant connaisse la réponse.
2. $P(A) = 1 - p$: Probabilité que l'étudiant ne connaisse pas la réponse.
3. Si l'étudiant ne connaît pas la réponse, il choisit au hasard parmi 3 options, donc la probabilité de donner une bonne réponse dans ce cas est : $P(B \mid A) = \frac{1}{3}$
4. Si l'étudiant connaît la réponse, il répond correctement : $P(B \mid K) = 1$
5. $P(B)$: Probabilité qu'une réponse soit correcte, calculée comme une combinaison des deux cas (l'étudiant connaît ou ne connaît pas la réponse).

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Étapes de Calcul :

1. Probabilité totale d'une bonne réponse ($P(B)$) :

On utilise la formule des probabilités totales : $P(B) = P(B \mid K)P(K) + P(B \mid A)P(A)$ Substituons les valeurs : $P(B) = (1)p + \left(\frac{1}{3}\right)(1-p)$ $P(B) = p + \frac{1-p}{3}$ $P(B) = \frac{3p + 1 - p}{3} = \frac{2p + 1}{3}$

2. Probabilité que l'étudiant connaisse la réponse sachant qu'il a répondu correctement ($P(K \mid B)$) :

Avec la formule de Bayes : $P(K \mid B) = \frac{P(B \mid K)P(K)}{P(B)}$ Substituons les valeurs : $P(K \mid B) = \frac{(1)p}{\frac{2p + 1}{3}}$ Simplifions : $P(K \mid B) = \frac{3p}{2p + 1}$

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Résultat :

La probabilité que l'étudiant connaisse la réponse sachant qu'il a répondu correctement est donnée par : $P(K \mid B) = \frac{3p}{2p + 1}$

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Souhaitez-vous une explication détaillée de ces étapes ou une application numérique pour une valeur spécifique de $p$ ? 😊

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Questions pour approfondir :

1. Que se passe-t-il si la probabilité $p$ tend vers 1 ? Et vers 0 ?
2. Comment pourrait-on modifier le problème si l'étudiant répond au hasard parmi 4 choix au lieu de 3 ?
3. Quelles sont les implications si on considère que l'étudiant peut parfois mal répondre par erreur même s’il connaît la réponse ?
4. Comment utiliser ce type de raisonnement dans un test à choix multiples ?
5. Peut-on vérifier ce modèle expérimentalement avec des données réelles d'un examen ?

Tip :

La formule de Bayes est particulièrement utile pour réévaluer des hypothèses après avoir obtenu de nouvelles observations.