Pour résoudre cette question, utilisons le théorème de Bayes. L'objectif est de déterminer la probabilité que l'étudiant connaisse la réponse étant donné qu'il a donné une bonne réponse.

Notations :

• $K$: l'événement que l'étudiant connaît la réponse.
• $H$: l'événement que l'étudiant répond au hasard.
• $B$: l'événement que la réponse donnée par l'étudiant est bonne.

D'après l'énoncé :

1. La probabilité que l'étudiant connaisse une réponse est $P(K) = p$.
2. La probabilité qu'il ne connaisse pas la réponse est $P(H) = 1 - p$.
3. S'il répond au hasard, la probabilité d'une bonne réponse est $P(B \mid H) = \frac{1}{3}$.
4. S'il connaît la réponse, il répond correctement avec certitude : $P(B \mid K) = 1$.

Nous cherchons $P(K \mid B)$, la probabilité que l'étudiant connaisse la réponse étant donné qu'il a répondu correctement.

Formule de Bayes :

$P(K \mid B) = \frac{P(B \mid K) \cdot P(K)}{P(B)}$

Étape 1 : Calcul de $P(B)$, la probabilité qu'une réponse soit bonne.

Par la loi des probabilités totales : $P(B) = P(B \mid K) \cdot P(K) + P(B \mid H) \cdot P(H)$ Substituons les valeurs : $P(B) = (1) \cdot p + \left(\frac{1}{3}\right) \cdot (1 - p) = p + \frac{1 - p}{3} = p + \frac{1}{3} - \frac{p}{3}$ $P(B) = \frac{3p}{3} + \frac{1}{3} - \frac{p}{3} = \frac{2p + 1}{3}$

Étape 2 : Substituer dans la formule de Bayes.

$P(K \mid B) = \frac{P(B \mid K) \cdot P(K)}{P(B)}$ $P(K \mid B) = \frac{(1) \cdot p}{\frac{2p + 1}{3}}$ Simplifions : $P(K \mid B) = \frac{3p}{2p + 1}$

Résultat :

La probabilité que l'étudiant connaisse la réponse sachant qu'il a répondu correctement est : $P(K \mid B) = \frac{3p}{2p + 1}$

Interprétation :

• Si $p$ est proche de 1 (l'étudiant connaît bien le programme), $P(K \mid B)$ tend vers 1.
• Si $p$ est proche de 0 (l'étudiant ne connaît presque rien), $P(K \mid B)$ tend vers 0.

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous une clarification ? 😊

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Questions pour approfondir :

1. Que se passe-t-il si $p = \frac{1}{2}$ ? Quelle est alors la valeur de $P(K \mid B)$ ?
2. Comment cette approche serait-elle modifiée si l'étudiant avait $n$ choix possibles ?
3. Que signifie $P(B \mid H) = \frac{1}{3}$, et pourquoi ne pas inclure des erreurs éventuelles de l'étudiant même s'il connaît la réponse ?
4. Peut-on étendre cette méthode à plusieurs questions successives ? Si oui, comment ?
5. Quelle serait la probabilité si l'on ajoute un biais (exemple : l'étudiant devine mieux que le pur hasard) ?

Conseil :

Apprenez bien le théorème de Bayes et pratiquez avec plusieurs exemples : c'est une technique fondamentale en probabilités, particulièrement utile dans des contextes similaires comme le diagnostic médical ou l'analyse statistique.