Bu soru, bir test sonucunun doğruluğunu ve hastalık olasılığını değerlendirmek için Bayes Teoremi'ni kullanmamız gereken bir olasılık sorusudur. Öncelikle verilen bilgileri organize edelim:

1. P(H): Hastalığın toplumdaki görülme sıklığı, yani hastalığa sahip olma olasılığı = 0,0001.
2. P(¬H): Hastalığa sahip olmama olasılığı = $1 - 0,0001 = 0,9999$.
3. P(T|H): Testin, hastalığı olan birini pozitif olarak tanıma olasılığı (doğru pozitif) = 0,99.
4. P(T|¬H): Testin, hastalığı olmayan birini yanlış pozitif olarak tanıma olasılığı = $1 - 0,95 = 0,05$.

Test sonucu pozitif çıktığında, kişinin gerçekten hasta olma olasılığını arıyoruz. Bu, P(H|T) olarak ifade edilir.

Bayes Teoremi Formülü

$P(H|T) = \frac{P(T|H) \cdot P(H)}{P(T)}$

Bu durumda, P(T) pozitif test sonucu olasılığıdır. P(T)'yi bulmak için toplam olasılık teoremini kullanırız:

$P(T) = P(T|H) \cdot P(H) + P(T|¬H) \cdot P(¬H)$

Bu değerleri formüle yerleştirelim:

1. P(T) Hesabı

$P(T) = (0,99 \cdot 0,0001) + (0,05 \cdot 0,9999)$

$P(T) = 0,000099 + 0,049995 = 0,050094$

2. P(H|T) Hesabı

Şimdi bu değeri Bayes teoremindeki yerine koyalım:

$P(H|T) = \frac{P(T|H) \cdot P(H)}{P(T)}$

$P(H|T) = \frac{0,99 \cdot 0,0001}{0,050094}$

$P(H|T) \approx \frac{0,000099}{0,050094} \approx 0,001976$

Sonuç olarak, test sonucunuz pozitif çıktığında, hastalığa yakalanma olasılığınız yaklaşık olarak %0,1976’dır. Bu da yaklaşık binde 2 civarındadır, yani oldukça düşük bir olasılıktır.

Özet

Test pozitif çıkmış olsa da, hastalığın toplumdaki düşük görülme sıklığından dolayı pozitif test sonucu almış bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı oldukça düşüktür. Bu örnek, pozitif test sonucunun her zaman yüksek hastalık riski anlamına gelmediğini, toplumdaki hastalık yaygınlığının (prevalans) bu tür olasılık hesaplamalarında ne kadar önemli olduğunu gösterir.

Sorunuz veya daha fazla detay talebiniz varsa memnuniyetle yardımcı olurum!

---

Ek Sorular

1. Bayes Teoremi başka hangi alanlarda kullanılır?
2. Toplumda nadir görülen hastalıklar için tarama testlerinin doğruluğunu artırmak için neler yapılabilir?
3. Yanlış pozitif oranını düşürmek için testlerde hangi iyileştirmeler yapılabilir?
4. Hastalığın prevalansı arttığında test sonucunun pozitif olması durumunda hastalık olasılığı nasıl değişir?
5. Hastalık testi sonuçlarının güvenilirliğini artırmak için başka hangi metotlar uygulanabilir?

---

Bir İpucu

Nadir hastalıklar için kullanılan testlerde yanlış pozitif sonuçların etkisi büyüktür; bu nedenle, doğrulayıcı ek testler yapılması klinik karar süreçlerinde faydalı olabilir.