Формула Байеса: 
Задача 14. Вероятность того, что студент получит отличную оценку на первой кон-

трольной равна 0,7. Вероятность того, что он получит отличную оценку на второй кон-

трольной не зависит от первой контрольной и равна 0,6 (на этих контрольных были разные

темы). На третьей контрольной были темы и по первой, и по второй контрольным. Если

он не получил отличную оценку ни на первой, ни на второй контрольной, то получит от-

личную оценку на третьей контрольной с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что

он получит отличную оценку только на третьей контрольной?

Для решения этой задачи давайте разобьем ее на несколько шагов и используем теорему Байеса, чтобы вычислить нужную вероятность.

Дано:

- \( P(A_1) = 0.7 \) — вероятность того, что студент получит отличную оценку на первой контрольной.
- \( P(A_2) = 0.6 \) — вероятность того, что студент получит отличную оценку на второй контрольной. Эта вероятность не зависит от первой контрольной.
- \( P(A_3 | A_1^c \cap A_2^c) = 0.5 \) — вероятность того, что студент получит отличную оценку на третьей контрольной при условии, что он не получил отличной оценки на первой и второй контрольных.

Нужно найти вероятность того, что студент получит отличную оценку **только** на третьей контрольной, т.е. на третьей контрольной, но не на первой и второй.

Обозначим:

- \( A_1 \) — событие, что студент получит отличную оценку на первой контрольной.
- \( A_2 \) — событие, что студент получит отличную оценку на второй контрольной.
- \( A_3 \) — событие, что студент получит отличную оценку на третьей контрольной.

Нам нужно найти \( P(A_3 \cap A_1^c \cap A_2^c) \) — вероятность того, что студент получит отличную оценку на третьей контрольной, но не получит отличные оценки на первой и второй.

Используем формулу полной вероятности:

\[
P(A_3 \cap A_1^c \cap A_2^c) = P(A_3 | A_1^c \cap A_2^c) \cdot P(A_1^c \cap A_2^c)
\]

Теперь давайте найдем каждый компонент:

1. **\( P(A_3 | A_1^c \cap A_2^c) = 0.5 \)** — эта вероятность дана в условии задачи.

2. **\( P(A_1^c \cap A_2^c) \)** — вероятность того, что студент не получит отличную оценку на первой и второй контрольных. Поскольку эти события независимы, то:

\[
P(A_1^c \cap A_2^c) = P(A_1^c) \cdot P(A_2^c) = (1 - P(A_1)) \cdot (1 - P(A_2)) = (1 - 0.7) \cdot (1 - 0.6) = 0.3 \cdot 0.4 = 0.12
\]

Теперь подставим все в основную формулу:

\[
P(A_3 \cap A_1^c \cap A_2^c) = 0.5 \cdot 0.12 = 0.06
\]

Ответ: вероятность того, что студент получит отличную оценку только на третьей контрольной, равна **0.06** или 6%.

### Дополнительные вопросы:
1. Как изменится вероятность, если на первой контрольной вероятность получения отличной оценки была бы 0.8?
2. Какая вероятность, что студент получит отличную оценку хотя бы на одной из контрольных?
3. Как можно использовать формулу Байеса для более сложных задач с зависимыми событиями?
4. Как изменится вероятность \( P(A_3 \cap A_1^c \cap A_2^c) \), если вероятность получения отличной оценки на третьей контрольной увеличится до 0.7?
5. Как бы решалась эта задача, если на контрольных оценках зависимы?

### Совет:
Для задач с зависимыми событиями всегда внимательно следите за тем, какие вероятности условные и какие исходные. Это помогает правильно выбрать подход к решению.

Формула Байеса: Задача 14. Вероятность того, что студент получит отличную оценку на первой контрольной равна 0,7. Вероятность того, что он получит отличную оценку на второй контрольной не зависит от первой контрольной и равна 0,6 (на этих контрольных были разные темы). На третьей контрольной были темы и по первой, и по второй контрольным. Если он не получил отличную оценку ни на первой, ни на второй контрольной, то получит отличную оценку на третьей контрольной с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что он получит отличную оценку только на третьей контрольной?

This problem explores Bayes' Theorem in probability theory, calculating the likelihood that a student receives an excellent grade only on the third test. The solution involves conditional probability and the law of total probability, suitable for high school students (Grades 10-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation