ابتدا توجه کنیم که اگر جملات اول، سوم و پنجم یک دنباله حسابی باشند، این سه جمله به ترتیب به عنوان اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه مورد استفاده قرار گرفته‌اند. بنابراین، می‌توان آن‌ها را به عنوان ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه در نظر گرفت که در آن رابطه فیثاغورث برقرار است.

فرض کنیم که جمله عمومی دنباله $a_n$ به صورت زیر است: $a_n = a_1 + (n - 1) \times d$ که $a_1$ جمله اول و $d$ اختلاف دنباله است.

1. نوشتن جملات اول، سوم و پنجم

طبق فرمول بالا داریم:

• جمله اول: $a_1 = a$
• جمله سوم: $a_3 = a + 2d$
• جمله پنجم: $a_5 = a + 4d$

حال این سه جمله می‌توانند اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه باشند، بنابراین باید رابطه فیثاغورث را برقرار کنند:

$a^2 + (a + 2d)^2 = (a + 4d)^2$

2. مساحت مثلث

از طرفی مساحت این مثلث برابر 96 است. فرض کنیم $a$ و $a + 2d$ به ترتیب اضلاع عمود و قائمه و $a + 4d$ وتر مثلث باشد. در این صورت مساحت مثلث به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\frac{1}{2} \times a \times (a + 2d) = 96$

3. حل معادلات

اکنون دو معادله زیر را داریم:

1. $a^2 + (a + 2d)^2 = (a + 4d)^2$
2. $\frac{1}{2} \times a \times (a + 2d) = 96$

این دو معادله را حل می‌کنیم تا مقادیر $a$ و $d$ را به دست آوریم، سپس می‌توانیم جمله دهم را که $a_{10} = a + 9d$ است، محاسبه کنیم.

ادامه حل

برای حل این معادلات می‌توانیم از روش‌های جایگذاری و ساده‌سازی استفاده کنیم.