بیایید مسئله را دوباره با دقت حل کنیم. گفته شده که جملات اول، سوم و پنجم یک دنباله حسابی، اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه با مساحت $96$ هستند و ما باید جمله دهم این دنباله را پیدا کنیم.

گام اول: تعریف دنباله حسابی

فرض می‌کنیم $a_n$ جمله عمومی این دنباله حسابی باشد: $a_n = a + (n-1)d$ که در آن $a$ جمله اول و $d$ تفاضل مشترک دنباله است.

گام دوم: تعیین جملات اول، سوم و پنجم

• جمله اول: $a_1 = a$
• جمله سوم: $a_3 = a + 2d$
• جمله پنجم: $a_5 = a + 4d$

این جملات، اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه را تشکیل می‌دهند. فرض می‌کنیم که $a$، $a + 2d$، و $a + 4d$ به ترتیب اضلاع مثلث قائم‌الزاویه هستند.

گام سوم: استفاده از رابطه فیثاغورس

از آنجایی که این سه مقدار اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه هستند، باید رابطه فیثاغورس برقرار باشد: $a^2 + (a + 2d)^2 = (a + 4d)^2$

این رابطه را گسترش می‌دهیم: $a^2 + (a^2 + 4ad + 4d^2) = a^2 + 8ad + 16d^2$

ساده‌سازی معادله بالا به شکل زیر خواهد بود: $2a^2 + 4ad + 4d^2 = a^2 + 8ad + 16d^2$

این معادله را به شکل استاندارد در می‌آوریم: $a^2 - 4ad - 12d^2 = 0$

گام چهارم: استفاده از مساحت مثلث

مساحت مثلث برابر با $96$ است. با توجه به اینکه دو ضلع عمود $a$ و $a + 2d$ هستند، مساحت مثلث به شکل زیر است: $\frac{1}{2} \times a \times (a + 2d) = 96$ این رابطه را ساده می‌کنیم: $a(a + 2d) = 192$

گام پنجم: حل سیستم معادلات

اکنون دو معادله داریم:

1. $a^2 - 4ad - 12d^2 = 0$
2. $a(a + 2d) = 192$

بیایید این معادلات را حل کنیم تا مقادیر $a$ و $d$ را به دست آوریم. سپس می‌توانیم مقدار جمله دهم $a_{10}$ را محاسبه کنیم: $a_{10} = a + 9d$

اجازه دهید محاسبات را انجام دهم تا به پاسخ دقیق برسیم.