Comproveu que si des d’una determinada distància del peu d’un arbre el veieu sota un angle de 600, si us n’allunyeu fins que la distància sigui el triple, l’angle amb que veureu l’arbre serà de 30o.

Per demostrar aquesta afirmació, anem a utilitzar alguns conceptes de trigonometria.

1. **Primera situació**:
   - Suposem que estem a una distància \( d \) de l'arbre i l'angle sota el qual veiem l'arbre és \( 60^\circ \).
   - L'alçada de l'arbre la denotarem com \( h \).

   Utilitzem la tangent de l'angle per trobar una relació entre \( h \) i \( d \):

   \[
   \tan(60^\circ) = \frac{h}{d}
   \]

   Sabem que \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \), així que:

   \[
   \sqrt{3} = \frac{h}{d} \quad \Rightarrow \quad h = d\sqrt{3}
   \]

2. **Segona situació**:
   - Ens allunyem fins que la distància sigui el triple, és a dir, \( 3d \).
   - Volem trobar l'angle \( \theta \) sota el qual veurem l'arbre des d'aquesta nova distància.

   Utilitzem de nou la tangent de l'angle:

   \[
   \tan(\theta) = \frac{h}{3d}
   \]

   Substituïm l'expressió de \( h \) que hem trobat abans:

   \[
   \tan(\theta) = \frac{d\sqrt{3}}{3d} = \frac{\sqrt{3}}{3}
   \]

   Sabem que \( \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \), així que:

   \[
   \theta = 30^\circ
   \]

Per tant, hem demostrat que si des d'una determinada distància \( d \) veiem l'arbre sota un angle de \( 60^\circ \), si ens allunyem fins a una distància \( 3d \), l'angle serà de \( 30^\circ \).

Si teniu alguna pregunta o voleu més detalls, feu-m'ho saber.

---

Preguntes que podríeu fer:

1. Com es calcula la tangent d'un angle?
2. Quins altres mètodes es poden utilitzar per resoldre aquest problema?
3. Podria demostrar-se aquest problema amb altres angles inicials?
4. Com afecta la mida de l'arbre en aquest tipus de problemes?
5. Podem aplicar aquest concepte a altres formes geomètriques?

**Consell:** La comprensió de les funcions trigonomètriques com la tangent és fonamental per resoldre problemes relacionats amb angles i distàncies.

Explore how the angle changes from 60° to 30° as the distance from the tree triples. This trigonometry problem involves using the tangent function to relate distances and angles. Suitable for high school students studying trigonometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation