Vamos a resolver cada parte del problema paso a paso:

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Función: $F(x) = -2x^2 + 4x + 5$

a) Intersecciones con el eje $x$:

Las intersecciones con el eje $x$ ocurren cuando $F(x) = 0$. Resolviendo: $-2x^2 + 4x + 5 = 0$ Dividiendo todo entre $-1$ para simplificar: $2x^2 - 4x - 5 = 0$ Usamos la fórmula general: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Aquí, $a = 2$, $b = -4$, $c = -5$: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)}$ $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{4}$ $x = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{4}$ $x = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{4}$ $x = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$ Por lo tanto, las intersecciones con el eje $x$ son: $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}, \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}.$

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b) Intersección con el eje $y$:

La intersección con el eje $y$ ocurre cuando $x = 0$: $F(0) = -2(0)^2 + 4(0) + 5 = 5.$ Intersección con el eje $y$: $(0, 5)$.

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c) Vértice:

La coordenada $x$ del vértice se calcula con: $x_v = -\frac{b}{2a}.$ Aquí, $a = -2$ y $b = 4$: $x_v = -\frac{4}{2(-2)} = \frac{4}{4} = 1.$ Para obtener $y_v$, sustituimos $x_v = 1$ en $F(x)$: $F(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 5 = -2 + 4 + 5 = 7.$ Por lo tanto, el vértice es: $(1, 7).$

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d) Apertura de la parábola:

El coeficiente de $x^2$ ($-2$) es negativo, por lo que la parábola abre hacia abajo.

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e) Gráfica:

Voy a np import matplotlib.pyplot as plt

Definir la función

def F(x): return -2 * x**2 + 4 * x + 5

Crear el rango de valores para x

x = np.linspace(-2, 3, 500) y = F(x)

Calcular los puntos importantes

x_vertex = 1 y_vertex = F(x_vertex) x_intersections = [1 + np.sqrt(14)/2, 1 - np.sqrt(14)/2] y_intersection = F(0)

Graficar la función

plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(x, y, label='F(x) = -2x² + 4x + 5', color='blue') plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8, linestyle='--') plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.8, linestyle='--')

Puntos clave

plt.scatter(x_intersections, [0, 0], color='red', label='Intersecciones con eje x') plt.scatter(0, y_intersection, color='green', label='Intersección con eje y (0, 5)') plt.scatter(x_vertex, y_vertex, color='orange', label=f'Vertice (1, 7)')

Etiquetas y leyenda

plt.title("Gráfica de F(x) = -2x² + 4x + 5") plt.xlabel("x") plt.ylabel("F(x)") plt.legend() La gráfica de la función $F(x) = -2x^2 + 4x + 5$ muestra:

1. Las intersecciones con el eje $x$ en $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$ y $x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$.
2. La intersección con el eje $y$ en $(0, 5)$.
3. El vértice en $(1, 7)$, indicando que la parábola abre hacia abajo.

¿Te gustaría detalles adicionales o explicaciones sobre alguno de los puntos?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el dominio y rango de esta función?
2. ¿Qué impacto tiene cambiar el coeficiente $a$ en la forma de la parábola?
3. ¿Qué representan las soluciones de la fórmula cuadrática geométricamente?
4. ¿Cómo influye el término lineal ($b$) en la posición del vértice?
5. ¿Qué herramientas gráficas se pueden usar para analizar otras funciones cuadráticas?

Tip: Siempre verifica la concavidad de una parábola observando el signo del coeficiente de $x^2$.