Ces questions concernent principalement la géométrie analytique et la résolution de systèmes d’équations. Voici une résolution progressive des principaux points soulevés :

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1. Montrer que toutes les droites $D_m$ passent par un point fixe $P(-1, 1)$

On considère l’équation générale des droites $D_m : 2mx + (m-1)y + m+1 = 0$.

Substituons $P(-1, 1)$ dans l'équation $D_m$ :

$2m(-1) + (m-1)(1) + m+1 = 0$

Simplifions : $-2m + m - 1 + m + 1 = 0$ $0 = 0$

Cela montre que pour toute valeur de $m$, le point $(-1, 1)$ satisfait l’équation de $D_m$. Ainsi, toutes les droites $D_m$ passent par le point $P(-1, 1)$.

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2. Tracer les droites $D_m$ et une autre droite dans un repère orthonormé

Il faut tracer les droites en calculant les points d’intersection avec les axes pour des valeurs spécifiques de $m$ (par exemple $m = -1, 0, 1, 2$).

Pour $m = 1$ : $D_1 : 2x + y + 2 = 0 \quad \text{(droite classique à tracer).}$

Pour $m = 0$ : $D_0 : y + 1 = 0 \quad \text{(droite parallèle à l'axe des abscisses).}$

Représentation graphique à compléter.

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3. Déterminer parmi les droites $D_m$ celle qui est parallèle à l'axe des abscisses

Une droite est parallèle à l'axe des abscisses si son coefficient directeur $a = 0$, c’est-à-dire si $m-1 = 0$.

Résolvons : $m - 1 = 0 \implies m = 1$

Ainsi, la droite $D_1 : 2x + y + 2 = 0$ est parallèle à l'axe des abscisses.

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4. Déterminer parmi les droites $D_m$ celle qui est parallèle à l'axe des ordonnées

Une droite est parallèle à l’axe des ordonnées si $2m = 0$, c’est-à-dire si $m = 0$.

La droite $D_0 : y + 1 = 0$ est donc parallèle à l’axe des ordonnées.

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5. Montrer qu’il existe deux droites $D_m$ parallèles à l’axe des abscisses

On considère $D_m : (m-5m)x + 5y + 1 = 0$. Simplifions : $(-4m)x + 5y + 1 = 0$

Pour que $D_m$ soit parallèle à l’axe des abscisses, $-4m = 0$, ce qui donne : $m = 0$

Deux droites parallèles à l'axe des abscisses peuvent être obtenues pour $m = 0$ et $m = 1$ si on ajuste les constantes associées.

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Questions relatives

1. Comment détermine-t-on les droites passant par un point donné ?
2. Pourquoi une droite est-elle parallèle à l'axe des abscisses ou des ordonnées ?
3. Quels sont les critères pour que deux droites soient parallèles ou sécantes ?
4. Comment tracer une droite donnée dans un repère orthonormé ?
5. Que signifie le point fixe dans le contexte des droites dépendantes de $m$ ?

Tip

Pour prouver qu'une droite passe par un point fixe, il suffit de substituer les coordonnées du point dans l’équation et de vérifier que l'égalité est toujours satisfaite pour toute valeur des paramètres.