Je vais répondre à ces différentes questions de manière structurée. Si vous avez besoin de précisions sur un point spécifique ou sur une méthode en particulier, n’hésitez pas à demander. Voici les solutions aux questions principales :

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1. Montrer que toutes les droites (Dm) passent par un point fixe A que l'on déterminera.

Considérons une droite $D_m : (m - 1)x + (m - 2)y + 2 = 0$.

Pour trouver le point fixe $A(x, y)$, identifions le point commun à toutes les droites $D_m$. Ce point satisfait l'équation indépendamment de la valeur de $m$.

• Supposons $m = 1$: L'équation devient $2y + 2 = 0$, soit $y = -1$.
• Supposons $m = 2$: L'équation devient $x + 2 = 0$, soit $x = -2$.

Le point fixe est donc $A(-2, -1)$.

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2. Déterminer la valeur de $m$ pour que (Dm) passe par $B(2, 4)$.

Pour que la droite $D_m$ passe par $B(2, 4)$, les coordonnées de $B$ doivent satisfaire l'équation de $D_m$. Substituons $x = 2$ et $y = 4$ dans $(m - 1)x + (m - 2)y + 2 = 0$:

$(m - 1)(2) + (m - 2)(4) + 2 = 0$

Développons :

$2m - 2 + 4m - 8 + 2 = 0 \implies 6m - 8 = 0 \implies m = \frac{4}{3}.$

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3. Déterminer la valeur de $m$ pour que (Dm) soit parallèle à la droite (D): $2x - 4y + 1 = 0$.

Pour que deux droites soient parallèles, leurs coefficients directeurs doivent être égaux. L'équation $2x - 4y + 1 = 0$ peut être écrite sous la forme $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}$. Le coefficient directeur est $\frac{1}{2}$.

Reformulons $D_m : (m - 1)x + (m - 2)y + 2 = 0$ pour obtenir son coefficient directeur. On a :

$(m - 2)y = -(m - 1)x - 2 \implies y = -\frac{m - 1}{m - 2}x - \frac{2}{m - 2}.$

Le coefficient directeur est $-\frac{m - 1}{m - 2}$. Pour que $D_m$ soit parallèle à $D$, il faut :

$-\frac{m - 1}{m - 2} = \frac{1}{2}.$

Résolvons cette équation :

$-\frac{m - 1}{m - 2} = \frac{1}{2} \implies -2(m - 1) = m - 2 \implies -2m + 2 = m - 2 \implies -3m = -4 \implies m = \frac{4}{3}.$

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4a. Déterminer la valeur de $m$ pour que (Dm) soit parallèle à l'axe des ordonnées.

Pour que $D_m$ soit parallèle à l'axe des ordonnées, $x$ ne doit pas apparaître dans l'équation. Cela se produit lorsque $m - 1 = 0$, soit $m = 1$.

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4b. Déterminer la valeur de $m$ pour que (Dm) soit parallèle à l'axe des abscisses.

Pour que $D_m$ soit parallèle à l'axe des abscisses, $y$ ne doit pas apparaître dans l'équation. Cela se produit lorsque $m - 2 = 0$, soit $m = 2$.

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Questions associées pour approfondir :

1. Comment démontrer qu'un point est fixe pour une famille de droites ?
2. Quels sont les critères pour que deux droites soient perpendiculaires ?
3. Quelle est la méthode pour trouver l'intersection entre deux droites ?
4. Comment analyser les droites spéciales (parallèles aux axes) dans un repère ?
5. Comment tracer les droites $D_1$ et $D_2$ à partir de leurs équations ?

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Astuce :

Pour simplifier une équation de droite, pensez toujours à la mettre sous la forme $y = mx + c$ pour identifier facilement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.