Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов с помощью координат и уравнений. Ниже рассмотрим типичные задачи и методы их решения.

---

1. Задача: Уравнение прямой через две точки

Пример: Найти уравнение прямой, проходящей через точки $A(2, 3)$ и $B(5, 7)$.

Решение:

1. Найдём направляющий вектор: $\vec{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4).$

2. Запишем уравнение в параметрической форме:

   x = 2 + 3t, \\ y = 3 + 4t, \end{cases}$$ где $$t \in \mathbb{R}$$.

3. Каноническая форма: $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 3}{4}.$

4. Преобразуем в общее уравнение: $4(x - 2) = 3(y - 3), \quad 4x - 3y - 1 = 0.$

---

2. Задача: Проверка принадлежности точки прямой

Пример: Проверить, принадлежит ли точка $C(4, 5)$ прямой $4x - 3y - 1 = 0$.

Решение:

1. Подставляем координаты точки $(x, y) = (4, 5)$ в уравнение: $4(4) - 3(5) - 1 = 16 - 15 - 1 = 0.$
2. Так как $0 = 0$, точка принадлежит прямой.

---

3. Задача: Угол между прямыми

Пример: Найти угол между прямыми $2x - y + 3 = 0$ и $x + 3y - 7 = 0$.

Решение:

1. Коэффициенты прямых:

   • Для $2x - y + 3 = 0$: $k_1 = \frac{-A}{B} = \frac{-2}{-1} = 2$.
   • Для $x + 3y - 7 = 0$: $k_2 = \frac{-1}{3}$.

2. Формула угла между прямыми: [ \tan \varphi = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{2 - (-\frac{1}{3})}{1 +