Рассмотрим функцию $f(x) = \left((x+6)^2\right)^{1/3} + \left((x-6)^2\right)^{1/3}$ и проведем ее полный анализ.

---

1. Область определения функции:

Функция содержит кубические корни $((x+6)^2)^{1/3}$ и $((x-6)^2)^{1/3}$, которые определены на всей числовой прямой.
Ответ: $D(f) = \mathbb{R}$.

---

2. Четность/нечетность функции:

Проверим четность функции:
Подставим $-x$ вместо $x$:
$f(-x) = \left((-x+6)^2\right)^{1/3} + \left((-x-6)^2\right)^{1/3}.$ Это равно $f(x)$, так как $(-x+6)^2 = (x-6)^2$ и $(-x-6)^2 = (x+6)^2$.
Функция четная.
Ответ: $f(x)$ — четная.

---

3. Периодичность функции:

Функция не является периодической, так как сумма выражений $((x+6)^2)^{1/3}$ и $((x-6)^2)^{1/3}$ не повторяется с фиксированным шагом.
Ответ: Функция не периодическая.

---

4. Точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью $Ox$ ($f(x) = 0$):
  Функция принимает положительные значения для всех $x \neq -6, 6$, а при $x = -6$ и $x = 6$ значение функции не равно нулю.
  Ответ: Пересечений с осью $Ox$ нет.

• Пересечение с осью $Oy$ ($x = 0$):
  Подставим $x = 0$:
  $f(0) = \left((0+6)^2\right)^{1/3} + \left((0-6)^2\right)^{1/3} = 2 \cdot 6^{2/3}.$
  Ответ: Точка пересечения с $Oy$: $(0, 2 \cdot 6^{2/3})$.

---

5. Интервалы знакопостоянства:

Функция $f(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: Знакопостоянство: $f(x) > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

---

6. Точки разрыва функции:

Функция непрерывна на всей числовой прямой.
Ответ: Точек разрыва нет.

---

7. Интервалы непрерывности:

Функция непрерывна на всей числовой прямой.
Ответ: Интервал непрерывности: $(-\infty, +\infty)$.

---

8. Пределы функции на бесконечности:

• При $x \to +\infty$: $f(x) \sim 2x^{2/3}, \text{ так как оба слагаемых доминируют над константами}.$
• При $x \to -\infty$: $f(x) \sim 2|x|^{2/3}.$ Ответ: $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = 2|x|^{2/3}$.

---

9. Асимптоты функции:

• Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей прямой.
• Наклонных асимптот тоже нет, так как $f(x) \sim 2x^{2/3}$, что не соответствует линейной функции.

Ответ: Асимптот нет.

---

10. Интервалы монотонности и экстремумы функции:

Найдем производную: $f'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{(x+6)}{\left((x+6)^2\right)^{2/3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{(x-6)}{\left((x-6)^2\right)^{2/3}}.$ Анализируем знак $f'(x)$:

• Для $x > 0$ производная положительна ($f'(x) > 0$).
• Для $x < 0$ производная отрицательна ($f'(x) < 0$).

Точка $x = 0$ является минимумом.

Ответ:

• Убывание: $(-\infty, 0)$.
• Возрастание: $(0, +\infty)$.
• Минимум: $f(0) = 2 \cdot 6^{2/3}$.

---

11. Интервалы выпуклости и точки перегиба:

Вторая производная достаточно сложна, но можно определить, что функция выпуклая на всей числовой прямой ($f''(x) > 0$).

Ответ: Функция выпуклая на $(-\infty, +\infty)$. Точек перегиба нет.

---

Если нужно, могу расписать выводы подробнее. Вот 5 вопросов для размышления:

1. Хотите подробнее разобрать производную $f'(x)$?
2. Как вычисляется предел на бесконечности?
3. Почему функция не имеет асимптот?
4. Хотите проанализировать выпуклость с помощью $f''(x)$?
5. Как доказывается четность функции?

Совет: Для анализа знака производной удобно строить вспомогательную таблицу изменений знака.