Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, если $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы, то верно следующее равенство:

$c^2 = a^2 + b^2$

Докажем теорему Пифагора алгебраически.

Доказательство

1. Рассмотрим квадрат со стороной $a + b$.
2. Внутри этого квадрата расположим 4 прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$, так что их гипотенузы образуют внутренний квадрат со стороной $c$.

Рассчитаем площадь большого квадрата двумя способами:

Способ 1: Площадь большого квадрата с учетом 4-х треугольников.

$\text{Площадь большого квадрата} = (a + b)^2$

Способ 2: Площадь большого квадрата как сумма площади внутреннего квадрата и 4-х треугольников.

$\text{Площадь большого квадрата} = c^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ab$

Так как площади равны, приравняем их:

$(a + b)^2 = c^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ab$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$

Отнимем $2ab$ с обеих сторон:

$a^2 + b^2 = c^2$

Таким образом, мы получили, что $c^2 = a^2 + b^2$, что и требовалось доказать.

Есть ли у вас вопросы или нужна ли дополнительная информация по доказательству?

5 вопросов, которые вы можете задать:

1. Какое геометрическое значение имеют катеты и гипотенуза в прямоугольном треугольнике?
2. Можете ли вы объяснить теорему Пифагора на конкретном примере?
3. Как теорема Пифагора используется в различных приложениях?
4. Можете ли вы показать графическое доказательство теоремы Пифагора?
5. Какие еще теоремы связаны с прямоугольными треугольниками?

Совет: Для лучшего понимания геометрии и теорем используйте графические иллюстрации и диаграммы.