 Докажи теорему ПИфагора алгебраически

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, если \( a \) и \( b \) — длины катетов, а \( c \) — длина гипотенузы, то верно следующее равенство:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Докажем теорему Пифагора алгебраически.

### Доказательство

1. Рассмотрим квадрат со стороной \( a + b \).
2. Внутри этого квадрата расположим 4 прямоугольных треугольника с катетами \( a \) и \( b \) и гипотенузой \( c \), так что их гипотенузы образуют внутренний квадрат со стороной \( c \).

Рассчитаем площадь большого квадрата двумя способами:

**Способ 1:** Площадь большого квадрата с учетом 4-х треугольников.

\[ \text{Площадь большого квадрата} = (a + b)^2 \]

**Способ 2:** Площадь большого квадрата как сумма площади внутреннего квадрата и 4-х треугольников.

\[ \text{Площадь большого квадрата} = c^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ab \]

Так как площади равны, приравняем их:

\[ (a + b)^2 = c^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ab \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab \]

Отнимем \( 2ab \) с обеих сторон:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Таким образом, мы получили, что \( c^2 = a^2 + b^2 \), что и требовалось доказать.

Есть ли у вас вопросы или нужна ли дополнительная информация по доказательству?

**5 вопросов, которые вы можете задать:**
1. Какое геометрическое значение имеют катеты и гипотенуза в прямоугольном треугольнике?
2. Можете ли вы объяснить теорему Пифагора на конкретном примере?
3. Как теорема Пифагора используется в различных приложениях?
4. Можете ли вы показать графическое доказательство теоремы Пифагора?
5. Какие еще теоремы связаны с прямоугольными треугольниками?

**Совет:** Для лучшего понимания геометрии и теорем используйте графические иллюстрации и диаграммы.

Explore an algebraic proof of the Pythagorean theorem, demonstrating that in a right triangle, the square of the hypotenuse equals the sum of the squares of the other two sides. This detailed proof covers geometric significance, algebraic manipulation, and application scenarios. Suitable for Grades 7-9.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation