Pour résoudre l'équation $|x-1| + |x-2| = 2$, nous devons considérer les cas selon les valeurs de $x$ par rapport à 1 et 2, car ces valeurs affectent les valeurs absolues.

1. Cas 1 : $x < 1$
   Dans ce cas, $|x-1| = 1 - x$ et $|x-2| = 2 - x$.
   L'équation devient : $(1 - x) + (2 - x) = 2$ Simplifions : $3 - 2x = 2 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$ Vérifions si $\frac{1}{2} < 1$ : vrai. Donc, $x = \frac{1}{2}$ est une solution.

2. Cas 2 : $1 \leq x < 2$
   Ici, $|x-1| = x - 1$ et $|x-2| = 2 - x$.
   L'équation devient : $(x - 1) + (2 - x) = 2$ Simplifions : $1 = 2$ Ce cas n’a pas de solution.

3. Cas 3 : $x \geq 2$
   Dans ce cas, $|x-1| = x - 1$ et $|x-2| = x - 2$.
   L'équation devient : $(x - 1) + (x - 2) = 2$ Simplifions : $2x - 3 = 2 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}$ Vérifions si $\frac{5}{2} \geq 2$ : vrai. Donc, $x = \frac{5}{2}$ est une solution.

Solutions finales :
Les solutions de l'équation $|x-1| + |x-2| = 2$ sont $x = \frac{1}{2}$ et $x = \frac{5}{2}$.

Questions supplémentaires :

1. Quelle est l'importance des valeurs absolues dans cette équation ?
2. Comment ces solutions peuvent-elles être représentées graphiquement ?
3. Que se passerait-il si nous ajoutions une constante à l'équation ?
4. Comment résoudre une équation similaire avec plus de valeurs absolues ?
5. Quel est le lien entre les équations à valeurs absolues et les inégalités ?

Conseil :

Pour les équations avec des valeurs absolues, il est utile de tracer les points critiques (les points où l'expression à l'intérieur de la valeur absolue est égale à zéro) pour déterminer les intervalles à considérer.