Рассмотрим ряд:

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{3^n}{(2n+1)^n}$

Наша задача — исследовать его на абсолютную и условную сходимость.

1. Проверка на абсолютную сходимость

Для проверки абсолютной сходимости нужно рассмотреть ряд:

$\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n+1} \frac{3^n}{(2n+1)^n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{(2n+1)^n}$

Теперь мы исследуем этот ряд с помощью критерия Даламбера (или теста отношения). Согласно этому критерию, если существует предел:

$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$

где $a_n = \frac{3^n}{(2n+1)^n}$, и если $L < 1$, то ряд сходится, если $L > 1$, то ряд расходится, и если $L = 1$, то критерий не даёт заключения.

Найдем предел:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(2(n+1)+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+1)^n}{3^n}$

Упростим выражение:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot \frac{(2n+1)^n}{(2n+3)^{n+1}} = 3 \cdot \frac{(2n+1)^n}{(2n+3)^n \cdot (2n+3)}$

Вытаскиваем $(2n+3)^n$ из знаменателя:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot \left( \frac{2n+1}{2n+3} \right)^n \cdot \frac{1}{2n+3}$

Теперь при $n \to \infty$:

$\frac{2n+1}{2n+3} \to 1, \quad \frac{1}{2n+3} \to 0$

Таким образом, предел:

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0$

Так как предел меньше 1, то ряд сходит абсолютно.

2. Проверка на условную сходимость

Так как ряд сходится абсолютно, то он также сходится условно. Таким образом, дополнительная проверка на условную сходимость не требуется, так как для абсолютно сходящихся рядов условная сходимость всегда выполняется.

Итог:

1. Ряд сходится абсолютно (по критерию Даламбера).
2. Поскольку ряд сходится абсолютно, то он также сходится условно.

Дополнительные вопросы:

1. Какие другие критерии сходимости рядов могут быть полезны для изучения этого ряда?
2. Как можно проверить сходимость знакопеременного ряда без вычисления абсолютной сходимости?
3. Какое поведение функции $\frac{3^n}{(2n+1)^n}$ при $n \to \infty$?
4. Как применить тест Коши для проверки сходимости?
5. Какие ряды сходятся условно, но не абсолютно?

Советы:

Совет: Когда проверяете сходимость ряда, всегда начинайте с простых тестов, таких как тест Даламбера или тест Лейбница для знакопеременных рядов. Это поможет быстро определить, существует ли сходимость.