Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд
∑_(n=1)^∞▒〖〖(-1)〗^n*u_n 〗
∑_(n=1)^∞▒(〖(-1)〗^(n+1)*3^n)/〖(2n+1)〗^n

Рассмотрим ряд:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{3^n}{(2n+1)^n}
\]

Наша задача — исследовать его на абсолютную и условную сходимость.

### 1. **Проверка на абсолютную сходимость**

Для проверки абсолютной сходимости нужно рассмотреть ряд:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n+1} \frac{3^n}{(2n+1)^n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{(2n+1)^n}
\]

Теперь мы исследуем этот ряд с помощью **критерия Даламбера (или теста отношения)**. Согласно этому критерию, если существует предел:

\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
\]

где \(a_n = \frac{3^n}{(2n+1)^n}\), и если \(L < 1\), то ряд сходится, если \(L > 1\), то ряд расходится, и если \(L = 1\), то критерий не даёт заключения.

Найдем предел:

\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(2(n+1)+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+1)^n}{3^n}
\]

Упростим выражение:

\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot \frac{(2n+1)^n}{(2n+3)^{n+1}} = 3 \cdot \frac{(2n+1)^n}{(2n+3)^n \cdot (2n+3)}
\]

Вытаскиваем \( (2n+3)^n \) из знаменателя:

\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot \left( \frac{2n+1}{2n+3} \right)^n \cdot \frac{1}{2n+3}
\]

Теперь при \( n \to \infty \):

\[
\frac{2n+1}{2n+3} \to 1, \quad \frac{1}{2n+3} \to 0
\]

Таким образом, предел:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0
\]

Так как предел меньше 1, то ряд сходит абсолютно.

### 2. **Проверка на условную сходимость**

Так как ряд сходится абсолютно, то он также сходится условно. Таким образом, дополнительная проверка на условную сходимость не требуется, так как для абсолютно сходящихся рядов условная сходимость всегда выполняется.

### Итог:

1. Ряд сходится абсолютно (по критерию Даламбера).
2. Поскольку ряд сходится абсолютно, то он также сходится условно.

### Дополнительные вопросы:

1. Какие другие критерии сходимости рядов могут быть полезны для изучения этого ряда?
2. Как можно проверить сходимость знакопеременного ряда без вычисления абсолютной сходимости?
3. Какое поведение функции \( \frac{3^n}{(2n+1)^n} \) при \( n \to \infty \)?
4. Как применить тест Коши для проверки сходимости?
5. Какие ряды сходятся условно, но не абсолютно?

### Советы:

**Совет:** Когда проверяете сходимость ряда, всегда начинайте с простых тестов, таких как тест Даламбера или тест Лейбница для знакопеременных рядов. Это поможет быстро определить, существует ли сходимость.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд ∑_(n=1)^∞▒〖〖(-1)〗^n*u_n 〗 ∑_(n=1)^∞▒(〖(-1)〗^(n+1)*3^n)/〖(2n+1)〗^n

Explore the absolute and conditional convergence of the alternating series ∑(-1)^(n+1) * (3^n) / ((2n+1)^n) with a detailed step-by-step solution. Learn key concepts such as the ratio test, alternating series, and convergence criteria. Suitable for undergraduate mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation