Для исследования сходимости ряда по признаку сходимости, рассмотрим ряд:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)} \cdot 3^n$

Это числовой ряд, и для анализа сходимости можем применить несколько различных признаков. Рассмотрим признак д'Аламбера (или критерий отношения):

Признак д'Аламбера:

Если существует предел:

$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$

где $a_n$ — это элементы ряда, то:

• Если $L < 1$, ряд сходится.
• Если $L > 1$, ряд расходится.
• Если $L = 1$, признак не дает определенности.

Применение критерия д'Аламбера:

Для ряда $a_n = \frac{1}{n+1} \cdot 3^n$, вычислим отношение:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{(n+2)} \cdot 3^{n+1}}{\frac{1}{(n+1)} \cdot 3^n} = \frac{n+1}{n+2} \cdot 3$

Теперь вычислим предел:

$L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} \cdot 3 = 3$

Поскольку $L = 3 > 1$, то по критерию д'Аламбера ряд расходится.

Вывод:

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)} \cdot 3^n$ расходится.

---

Хотите, чтобы я объяснил более подробно, или есть другие вопросы по этому ряду? Вот несколько других направлений для дальнейшего изучения:

1. Почему именно критерий д'Аламбера удобен для ряда с экспоненциальными функциями?
2. Как бы выглядело применение теста для сравнения для этого ряда?
3. В чем отличие между сходимостью и расходом рядов с переменными степенями и коэффициентами?
4. Что такое ряд Фурье и как он связан с экспоненциальными рядами?
5. Применение критерия Корсона для анализа сходящихся и расходящихся рядов.

Совет: Всегда полезно проверять поведение элементов ряда на больших значениях $n$ при помощи предельных операций, так как это дает четкое представление о тенденциях сходимости.