Um den 4-Bit-CRC für das Generatorpolynom $g(x) = x^4 + x + 1$ und die Eingabe $10101011$ zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

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Schritt 1: Notation und Vorbereitungen

• Generatorpolynom: $g(x) = x^4 + x + 1$ entspricht dem Binärwert $10011$.
• Eingabedaten: $10101011$ (8 Bits).
• Erweiterung der Eingabedaten: Um Platz für den CRC-Wert (4 Bits) zu schaffen, hängen wir vier Nullen an die Eingabe an: $\text{Erweiterte Eingabe: } 10101011\,0000$

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Schritt 2: Division durch das Generatorpolynom

Wir führen die Division mit dem Generatorpolynom $10011$ nach dem Verfahren des Polynom-Divisionsalgorithmus durch.

Schritt 2.1: Division starten

• Teiler (Generatorpolynom): $10011$

• Erste Division: Teilen Sie die ersten 5 Bits $10101$ durch $10011$ (XOR).

  $10101 \oplus 10011 = 00110$

Das Ergebnis $00110$ wird beibehalten, und das nächste Bit der erweiterten Eingabe ($0$) wird angefügt.

Schritt 2.2: Zweiter Schritt der Division

• Der nächste Dividendenabschnitt ist $00110 \,0$, also $01100$.
• Division: $01100 \oplus 10011 = 111$.

Hängen Sie erneut ein weiteres Bit der erweiterten Eingabe an.

ABEATIGHTTREEntschuldigung für die Unterbrechung! Lassen Sie uns die 4-Bit-CRC-Berechnung fortsetzen und abschließen. Ich werde die Schritte klar strukturieren:

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Gegebene Informationen:

• Generatorpolynom: $g(x) = x^4 + x + 1$, entspricht $10011$ (5 Bits).
• Eingabedaten: $10101011$, verlängert um 4 Nullen: $10101011\,0000$ (12 Bits).

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Schrittweise Berechnung:

1. Initialer Divisor und Dividend: Der Dividend ist $10101$ (die ersten 5 Bits von $10101011\,0000$). Der Divisor ist $10011$.

   $10101 \oplus 10011 = 00110$
   Nächstes Bit anhängen: $00110\,1 = 01101$.

2. Zweite Division: $01101 \oplus 10011 = 1110$
   Nächstes Bit anhängen: $1110\,1 = 11101$.

3. Dritte Division: $11101 \oplus 10011 = 01110$
   Nächstes Bit anhängen: $01110\,0 = 11100$.

4. Vierte Division: $11100 \oplus 10011 = 01011$
   Nächstes Bit anhängen: $01011\,0 = 10110$.

5. Fünfte Division: $10110 \oplus 10011 = 00101$
   Nächstes Bit anhängen: $00101\,0 = 01010$.

6. Sechste Division: $01010 \oplus 10011 = 1101$.

Da keine weiteren Bits übrig sind, ist der Rest $1101$. Dies ist unser 4-Bit-CRC.

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Endergebnis:

Der CRC für die Eingabe $10101011$ mit dem Generatorpolynom $g(x) = x^4 + x + 1$ ist: $\boxed{1101}$

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Prüfung:

• Hängen Sie den CRC-Wert $1101$ an die ursprüngliche Nachricht an: $10101011\,1101$.
• Teilen Sie diese durch $10011$. Der Rest sollte $0$ ergeben.

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Haben Sie Fragen oder benötigen Sie Details zu einem der Schritte?

Hier sind einige verwandte Fragen zur Vertiefung:

1. Wie kann die CRC-Berechnung mit Hardware (z. B. Schieberegister) implementiert werden?
2. Wie wird sichergestellt, dass ein CRC alle Bitfehler erkennt?
3. Was sind die Unterschiede zwischen CRC und anderen Prüfsummenverfahren (z. B. Paritätsbits)?
4. Wie beeinflusst die Länge des Generatorpolynoms die Fehlersicherheit?
5. Welche Bedeutung hat die Division im Kontext von binären Polynomen?

Tipp: Ein CRC kann schnell mit einer Lookup-Tabelle berechnet werden, wenn wiederholte Berechnungen erforderlich sind.