解题步骤：

题目要求通过 $X(z)$ 求原序列 $x[n]$ 并确定其收敛域。

已知：

$X(z) = \frac{1}{(1 - \frac{1}{2}z^{-1})(1 - z^{-1})}$

1. 将分母展开成部分分式

我们对 $X(z)$ 进行部分分式分解： $\frac{1}{(1 - \frac{1}{2}z^{-1})(1 - z^{-1})} = \frac{A}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} + \frac{B}{1 - z^{-1}}$

求解 $A$ 和 $B$：

$\frac{1}{(1 - \frac{1}{2}z^{-1})(1 - z^{-1})} = \frac{A(1 - z^{-1}) + B(1 - \frac{1}{2}z^{-1})}{(1 - \frac{1}{2}z^{-1})(1 - z^{-1})}$

分子合并： $1 = A(1 - z^{-1}) + B(1 - \frac{1}{2}z^{-1})$

将 $z^{-1}$ 的系数分别整理： $1 = A + B \quad \text{(常数项)}$ 0 = -A - \frac{1}{2}B \quad \text{(z^{-1}项)}

从方程组求 $A$ 和 $B$：

1. $A + B = 1$
2. $-A - \frac{1}{2}B = 0$

解得： $A = \frac{2}{3}, \quad B = \frac{1}{3}$

所以部分分式分解为： $X(z) = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} + \frac{\frac{1}{3}}{1 - z^{-1}}$

2. 通过 Z 逆变换求 $x[n]$

利用 Z 变换的性质： [ \frac{1}{1 - az^{-1}} \xleftrightarrow[]{\text{Z逆变换}} a^n u[n] ]

因此： [ \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} \xrightarrow[]{\text{Z逆变换}} \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n u[n] ] [ \frac{\frac{1}{3}}{1 - z^{-1}} \xrightarrow[]{\text{Z逆变换}} \frac{1}{3} u[n] ]

将两部分相加，得到： [ x[n] = \frac{2}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n] + \frac{1}{3} u[n] ]

或者： [ x[n] = \left(\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n + \frac{1}{3}\right) u[n] ]

3. 收敛域

根据 Z 变换的收敛域规则：

1. $\frac{1}{1 - az^{-1}}$ 的收敛域是 $|z| > |a|$。
2. 本题中两个因子分别对应 $|z| > \frac{1}{2}$ 和 $|z| > 1$。

因此综合收敛域为： $|z| > 1$

最终答案：

1. 原序列： [ x[n] = \left(\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n + \frac{1}{3}\right) u[n] ]
2. 收敛域： $|z| > 1$

请问需要进一步详细解释，还是有其他疑问？
以下是一些相关问题供参考：

1. 如何判断 Z 变换的收敛域？
2. 为什么部分分式分解适用于这种问题？
3. Z 变换中 $u[n]$ 的作用是什么？
4. 如果收敛域变化，对结果会有什么影响？
5. 是否可以直接通过系统函数的极点求原序列？

一个提示：部分分式分解法在处理分母是多个线性因子的 Z 变换时非常高效，建议熟练掌握！