Ongelma

Meillä on järjestetty joukko $(I, \leq)$, jossa $I$ on epätyhjä ja siinä on järjestys $\leq$. Joukko $(I, \leq)$ on hyvinjärjestetty, jos jokaista epätyhjää osajoukkoa $A \subseteq I$ kohti on olemassa pienin alkio $a \in A$, joka täyttää ehdon: $a \leq b$ kaikille $b \in A$. Joukko $I$ on äärellinen, ja meidän tulee osoittaa, että $(I, \leq)$ on hyvinjärjestetty.

Ratkaisu, kun $I$ on äärellinen

Koska $I$ on äärellinen, siinä on äärellinen määrä alkioita. Oletetaan, että $A \subseteq I$ on epätyhjä osajoukko. Tavoitteena on osoittaa, että joukossa $A$ on pienin alkio.

1. Epätyhjän joukon $A$ käsittely: Koska $A$ on epätyhjä osajoukko $I$:stä ja $I$ on äärellinen, $A$ on myös äärellinen. Tällöin joukossa $A$ on äärellinen määrä alkioita, ja voimme etsiä joukon pienintä alkiota järjestyksen $\leq$ mukaan.

2. Pienimmän alkion löytyminen: Koska $A$ on äärellinen ja $\leq$ on osajärjestys $I$:ssä, meillä on vahvat ominaisuudet, jotka takaavat, että joukosta $A$ voidaan löytää pienin alkio. Tämä johtuu siitä, että äärellisessä joukossa on aina mahdollisuus etsiä pienin alkio vertailemalla alkioita toisiinsa. Koska $A$ on epätyhjä, niin aina löytyy ainakin yksi alkio, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin kaikki muut alkiot joukossa $A$.

3. Pienin alkio löytyy: Järjestys $\leq$ takaa, että on olemassa sellainen alkio $a \in A$, että $a \leq b$ kaikille $b \in A$, eli $a$ on pienin alkio.

Täten, koska $A$ on äärellinen ja $I$ on järjestetty, niin joukossa $A$ on pienin alkio. Tämä osoittaa, että $(I, \leq)$ on hyvinjärjestetty, kun $I$ on äärellinen.

Väite äärettömissä joukoissa

Jos $I$ on äärettömän suuri joukko, väite ei enää pidä paikkansa.

• Äärettömyys tuo ongelmia: Äärettömässä joukossa ei ole takeita siitä, että jokaiselle epätyhjälle osajoukolle löytyisi pienin alkio. Esimerkiksi joukossa $\mathbb{N}$ (luonnolliset luvut), jossa $\leq$ on tavallinen järjestys, osajoukko $\mathbb{N}^+ = \{2, 3, 4, \dots\}$ ei ole hyvinjärjestetty, koska sillä ei ole pienintä alkiota — pienin alkio ei voi olla olemassa, koska joukossa ei ole alkiota, joka olisi pienempi kuin kaikki muut.

• Ei takuita pienimmälle alkiolle: Äärettömälle joukolle ei voida taata pienintä alkiota kaikissa osajoukoissa, mikä on hyvinjärjestetyn joukon määritelmässä oleellista.

Yhteenveto

• Kun $I$ on äärellinen, joukko $(I, \leq)$ on hyvinjärjestetty, koska jokaista epätyhjää osajoukkoa kohden löytyy pienin alkio.
• Jos $I$ on ääretön, väite ei enää päde, sillä ei ole takeita siitä, että jokaisessa epätyhjässä osajoukossa olisi pienin alkio.

---

Haluatko lisätietoja aiheesta tai tarkempia selityksiä? Tässä on myös muutama jatkokysymys:

1. Miten äärettömän joukon pienimmän alkion puuttuminen liittyy osajärjestyksiin ja täydellisiin osajoukkoihin?
2. Voiko jokaisessa äärettömässä järjestetyssä joukossa olla pienin alkio jollain erityisellä ehtojen joukolla?
3. Miten hyvinjärjestettyjen joukkojen määritelmä liittyy Zermelo-Fraenkelin joukko-aksioomiin?
4. Millaisia erityisiä järjestyksiä on olemassa äärellisissä ja äärettömissä hyvinjärjestetyissä joukoissa?
5. Mitä tapahtuu, jos joukossa $I$ on kaksi eri pienintä alkiota?

Vinkki: Hyvinjärjestettyjen joukkojen tutkimisessa tärkeä käsite on transitiivisuus, joka tarkoittaa sitä, että jos $a \leq b$ ja $b \leq c$, niin myös $a \leq c$.