Задача, которую вы привели, представляет собой задачу для уравнения теплопроводности с источником, и нам нужно решить её с использованием формулы Даламбера.

1. Формулировка задачи

Уравнение теплопроводности имеет вид:

$U_{tt} = U_{xx} + x(t-1),$

с начальными условиями:

$U(x, 0) = e^x \quad \text{и} \quad U_t(x, 0) = 2.$

2. Формула Даламбера

Для задачи без источника (когда правая часть уравнения равна нулю) общим решением будет:

$U(x,t) = \frac{1}{2} \left( U_0(x+at) + U_0(x-at) \right) + \int_0^t \left( t-\tau \right) \cdot \left( x(\tau-1) \right) \, d\tau.$

Здесь $U_0(x)$ — это начальное распределение температуры, которое мы подставим в формулу Даламбера. Для вашего случая:

1. $U_0(x) = e^x$,
2. Учитываем источник, который добавляется через второе слагаемое в формуле.

3. Разбор решения

(i) Первый член — часть с начальным распределением

Первая часть решения будет выглядеть так:

$\frac{1}{2} \left( U_0(x+at) + U_0(x-at) \right) = \frac{1}{2} \left( e^{x+at} + e^{x-at} \right).$

(ii) Второй член — влияние источника

Второй член интегрирует влияние источника в правой части уравнения. Для начала выразим его в явном виде:

$\int_0^t (t - \tau) \cdot x(\tau - 1) d\tau.$

Сложность этого выражения в том, что источник зависит от времени. Тем не менее, можно вычислить этот интеграл, если у нас есть конкретные значения для $x$ и $t$.

4. Учет начальных условий

Для полной формулы Даламбера также важно учитывать начальные условия:

$U(x, 0) = e^x, \quad U_t(x, 0) = 2.$

Эти условия позволяют нам определить константы интеграции, которые появляются при решении задачи с источником.

Итоговое решение

Полное решение задачи с учетом источника будет выглядеть как комбинация этих двух частей. Однако точные значения для источника нужно интегрировать в зависимости от параметров задачи.

---

Хотите, чтобы я продолжил и более детально разобрал интеграл, влияющий на решение, или у вас есть другие вопросы по шагам?