Untuk menentukan volume total penurunan tanah di bawah pondasi, kita perlu menghitung integral dari fungsi penurunan $s(x, y)$ di seluruh area pondasi.

Diketahui:

• Fungsi penurunan $s(x, y) = k \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right)\sin\left(\frac{\pi y}{L_y}\right)$
• $L_x$ dan $L_y$ adalah panjang dan lebar area pondasi.
• $k$ adalah faktor penurunan maksimal.

Volume total penurunan tanah:

Volume total penurunan tanah $V$ di bawah pondasi adalah integral dari $s(x, y)$ pada seluruh area alas pondasi, yaitu dari $x = 0$ hingga $L_x$, dan dari $y = 0$ hingga $L_y$:

$V = \int_0^{L_x} \int_0^{L_y} s(x, y) \, dy \, dx$

Substitusi fungsi $s(x, y)$:

$V = \int_0^{L_x} \int_0^{L_y} k \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right)\sin\left(\frac{\pi y}{L_y}\right) \, dy \, dx$

Karena $k$ adalah konstanta, kita bisa memindahkannya ke luar integral:

$V = k \int_0^{L_x} \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right) \left( \int_0^{L_y} \sin\left(\frac{\pi y}{L_y}\right) \, dy \right) dx$

Hitung integral dalam terhadap $y$:

$\int_0^{L_y} \sin\left(\frac{\pi y}{L_y}\right) \, dy = \left[ -\frac{L_y}{\pi} \cos\left(\frac{\pi y}{L_y}\right) \right]_0^{L_y}$ $= -\frac{L_y}{\pi} \left( \cos\left(\frac{\pi L_y}{L_y}\right) - \cos(0) \right) = -\frac{L_y}{\pi} \left( \cos(\pi) - \cos(0) \right) = -\frac{L_y}{\pi} \left( -1 - 1 \right) = \frac{2L_y}{\pi}$

Hitung integral luar terhadap $x$:

$V = k \int_0^{L_x} \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right) \cdot \frac{2L_y}{\pi} \, dx = \frac{2kL_y}{\pi} \int_0^{L_x} \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right) \, dx$

Hitung integral dari fungsi sinus terhadap $x$:

$\int_0^{L_x} \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right) \, dx = \left[ -\frac{L_x}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{L_x}\right) \right]_0^{L_x}$ $= -\frac{L_x}{\pi} \left( \cos\left(\frac{\pi L_x}{L_x}\right) - \cos(0) \right) = -\frac{L_x}{\pi} \left( \cos(\pi) - \cos(0) \right) = -\frac{L_x}{\pi} \left( -1 - 1 \right) = \frac{2L_x}{\pi}$

Volume total:

Sekarang kita substitusi hasilnya:

$V = \frac{2kL_y}{\pi} \cdot \frac{2L_x}{\pi} = \frac{4kL_xL_y}{\pi^2}$

Kesimpulan:

Volume total penurunan tanah di bawah pondasi adalah:

$V = \frac{4kL_xL_y}{\pi^2}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada yang ingin ditanyakan?

Soal lanjutan:

1. Bagaimana volume penurunan berubah jika $k$ digandakan?
2. Bagaimana jika hanya lebar pondasi $L_y$ yang ditingkatkan?
3. Berapa volume jika $L_x = L_y$?
4. Apa yang terjadi jika penurunan tanah hanya bergantung pada $x$ saja?
5. Bagaimana kita bisa memperkirakan nilai $k$ dalam kehidupan nyata?

Tip: Dalam integral, hasil dari fungsi sinus atau kosinus pada batas-batas tertentu sering kali menghasilkan angka sederhana seperti nol atau satu.