Soal: Sebuah pondasi dengan luas alas A mengalami penurunan tanah yang berbeda di setiap titik. Misalkan perubahan ketinggian tanah pada titik (x, y) dinyatakan dengan fungsi penurunan s(x, y) = k sin() sin(), di mana L dan Ly adalah panjang dan lebar area pondasi, dan k adalah faktor penurunan maksimal. Tentukan volume total penurunan tanah di bawah pondasi.

Untuk menentukan volume total penurunan tanah di bawah pondasi, kita perlu menghitung integral dari fungsi penurunan \( s(x, y) \) di seluruh area pondasi.

### Diketahui:
- Fungsi penurunan \( s(x, y) = k \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right)\sin\left(\frac{\pi y}{L_y}\right) \)
- \( L_x \) dan \( L_y \) adalah panjang dan lebar area pondasi.
- \( k \) adalah faktor penurunan maksimal.

### Volume total penurunan tanah:

Volume total penurunan tanah \( V \) di bawah pondasi adalah integral dari \( s(x, y) \) pada seluruh area alas pondasi, yaitu dari \( x = 0 \) hingga \( L_x \), dan dari \( y = 0 \) hingga \( L_y \):

\[
V = \int_0^{L_x} \int_0^{L_y} s(x, y) \, dy \, dx
\]

Substitusi fungsi \( s(x, y) \):

\[
V = \int_0^{L_x} \int_0^{L_y} k \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right)\sin\left(\frac{\pi y}{L_y}\right) \, dy \, dx
\]

Karena \( k \) adalah konstanta, kita bisa memindahkannya ke luar integral:

\[
V = k \int_0^{L_x} \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right) \left( \int_0^{L_y} \sin\left(\frac{\pi y}{L_y}\right) \, dy \right) dx
\]

### Hitung integral dalam terhadap \( y \):
\[
\int_0^{L_y} \sin\left(\frac{\pi y}{L_y}\right) \, dy = \left[ -\frac{L_y}{\pi} \cos\left(\frac{\pi y}{L_y}\right) \right]_0^{L_y} 
\]
\[
= -\frac{L_y}{\pi} \left( \cos\left(\frac{\pi L_y}{L_y}\right) - \cos(0) \right) = -\frac{L_y}{\pi} \left( \cos(\pi) - \cos(0) \right) = -\frac{L_y}{\pi} \left( -1 - 1 \right) = \frac{2L_y}{\pi}
\]

### Hitung integral luar terhadap \( x \):
\[
V = k \int_0^{L_x} \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right) \cdot \frac{2L_y}{\pi} \, dx = \frac{2kL_y}{\pi} \int_0^{L_x} \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right) \, dx
\]

Hitung integral dari fungsi sinus terhadap \( x \):

\[
\int_0^{L_x} \sin\left(\frac{\pi x}{L_x}\right) \, dx = \left[ -\frac{L_x}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{L_x}\right) \right]_0^{L_x}
\]
\[
= -\frac{L_x}{\pi} \left( \cos\left(\frac{\pi L_x}{L_x}\right) - \cos(0) \right) = -\frac{L_x}{\pi} \left( \cos(\pi) - \cos(0) \right) = -\frac{L_x}{\pi} \left( -1 - 1 \right) = \frac{2L_x}{\pi}
\]

### Volume total:
Sekarang kita substitusi hasilnya:

\[
V = \frac{2kL_y}{\pi} \cdot \frac{2L_x}{\pi} = \frac{4kL_xL_y}{\pi^2}
\]

### Kesimpulan:
Volume total penurunan tanah di bawah pondasi adalah:

\[
V = \frac{4kL_xL_y}{\pi^2}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada yang ingin ditanyakan?

#### Soal lanjutan:
1. Bagaimana volume penurunan berubah jika \( k \) digandakan?
2. Bagaimana jika hanya lebar pondasi \( L_y \) yang ditingkatkan?
3. Berapa volume jika \( L_x = L_y \)?
4. Apa yang terjadi jika penurunan tanah hanya bergantung pada \( x \) saja?
5. Bagaimana kita bisa memperkirakan nilai \( k \) dalam kehidupan nyata?

**Tip:** Dalam integral, hasil dari fungsi sinus atau kosinus pada batas-batas tertentu sering kali menghasilkan angka sederhana seperti nol atau satu.

Sebuah pondasi dengan luas alas A mengalami penurunan tanah yang berbeda di setiap titik. Misalkan perubahan ketinggian tanah pada titik (x, y) dinyatakan dengan fungsi penurunan s(x, y) = k sin() sin(), di mana L dan Ly adalah panjang dan lebar area pondasi, dan k adalah faktor penurunan maksimal. Tentukan volume total penurunan tanah di bawah pondasi.

Pelajari cara menghitung volume total penurunan tanah di bawah pondasi dengan menggunakan integral ganda dan fungsi trigonometri. Soal ini mencakup konsep-konsep utama seperti kalkulus, fungsi sinus, dan pengintegralan, yang cocok untuk mahasiswa tingkat sarjana.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation