Math Problem Statement
Soit S le solide de résultant de la rotation autour de l'axes des x de la région bornée R comprisse entre la courbe y=e2x et les droites x=−1 , x=2 et y=0 . On calcul le volume de S à l'aide de la méthode des disques.
a) Soit u un nombre réel dans l'intervalle −1≤x≤2 . La section x=u de S est un disque. Quel est le rayon et l'aire de ce disque?
Rayon: e^(2*x) Preview Change entry mode
Aire: pie^(2x)^" Preview Change entry mode
b) Le volume de S est donné par l'intégrale ∫baf(x)dx où :
a=
Number
b=
Number
et
f(x)=
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c) Calculez le volume de S . Donnez votre réponse avec une précision de quatre chiffres décimaux.
Volume:
Solution
Solution : Calcul du volume par la méthode des disques
(a) Détermination du rayon et de l’aire de la section
La section de est un disque de rayon égal à la valeur de la fonction donnée :
L'aire de ce disque est donnée par la formule de l'aire d'un disque :
(b) Définition de l'intégrale pour le volume
Le volume est obtenu en intégrant l'aire de la section sur l'intervalle :
- Fonction représentant l’aire du disque :
Ainsi, l'intégrale à évaluer est :
(c) Calcul du volume
On calcule :
La primitive de est , donc :
En évaluant aux bornes :
Calculons cette valeur avec une précision de 4 chiffres décimaux :
Résultat final :
Voulez-vous plus de détails ou des explications ?
Questions connexes :
- Comment déterminer une primitive d'une fonction exponentielle ?
- Pourquoi utilise-t-on la méthode des disques pour ce type de calcul de volume ?
- Quelles autres méthodes permettent de calculer un volume de révolution ?
- Comment interpréter géométriquement la fonction ?
- Quelle est l’influence des bornes de l’intégrale sur le volume calculé ?
Astuce :
Lorsque vous intégrez une fonction exponentielle , la primitive est toujours de la forme , ce qui est utile pour calculer rapidement des volumes et des aires.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Calculus
Volume of Revolution
Disk Method
Exponential Functions
Definite Integrals
Formulas
Volume of revolution using disk method: V = ∫[a to b] π * (f(x))^2 dx
Area of a disk: A = π * r^2
Primitive of e^(ax): ∫ e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax)
Theorems
Disk method for volume of revolution
Fundamental Theorem of Calculus
Suitable Grade Level
College/University (Calculus Level)
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