Math Problem Statement

Soit S le solide de résultant de la rotation autour de l'axes des x de la région bornée R comprisse entre la courbe y=e2x et les droites x=−1 , x=2 et y=0 . On calcul le volume de S à l'aide de la méthode des disques.

a) Soit u un nombre réel dans l'intervalle −1≤x≤2 . La section x=u de S est un disque. Quel est le rayon et l'aire de ce disque?

Rayon: e^(2*x) Preview Change entry mode

Aire: pie^(2x)^" Preview Change entry mode

b) Le volume de S est donné par l'intégrale ∫baf(x)dx où :

a=

Number

b=

Number

et

f(x)=

Preview Change entry mode

c) Calculez le volume de S . Donnez votre réponse avec une précision de quatre chiffres décimaux.

Volume:

Solution

Solution : Calcul du volume par la méthode des disques

(a) Détermination du rayon et de l’aire de la section x=ux = u

La section x=ux = u de SS est un disque de rayon égal à la valeur de la fonction donnée :
R=e2uR = e^{2u}

L'aire de ce disque est donnée par la formule de l'aire d'un disque A=πR2A = \pi R^2 :

A=π(e2u)2=πe4uA = \pi (e^{2u})^2 = \pi e^{4u}

(b) Définition de l'intégrale pour le volume

Le volume VV est obtenu en intégrant l'aire de la section sur l'intervalle [1,2][-1,2] :

  • a=1a = -1
  • b=2b = 2
  • Fonction f(x)f(x) représentant l’aire du disque :
    f(x)=πe4xf(x) = \pi e^{4x}

Ainsi, l'intégrale à évaluer est :

V=12πe4xdxV = \int_{-1}^{2} \pi e^{4x} dx

(c) Calcul du volume

On calcule :

V=π12e4xdxV = \pi \int_{-1}^{2} e^{4x} dx

La primitive de e4xe^{4x} est 14e4x\frac{1}{4} e^{4x}, donc :

V=π[14e4x]12V = \pi \left[ \frac{1}{4} e^{4x} \right]_{-1}^{2}

En évaluant aux bornes :

V=π(14e814e4)V = \pi \left( \frac{1}{4} e^{8} - \frac{1}{4} e^{-4} \right)

Calculons cette valeur avec une précision de 4 chiffres décimaux :

Vπ×(14×2980.95814×0.0183)V \approx \pi \times \left( \frac{1}{4} \times 2980.958 - \frac{1}{4} \times 0.0183 \right)

Vπ×(745.23950.004575)V \approx \pi \times \left( 745.2395 - 0.004575 \right)

Vπ×745.2349V \approx \pi \times 745.2349

V2341.9066V \approx 2341.9066

Résultat final :

V2341.9066V \approx 2341.9066

Voulez-vous plus de détails ou des explications ?

Questions connexes :

  1. Comment déterminer une primitive d'une fonction exponentielle ?
  2. Pourquoi utilise-t-on la méthode des disques pour ce type de calcul de volume ?
  3. Quelles autres méthodes permettent de calculer un volume de révolution ?
  4. Comment interpréter géométriquement la fonction f(x)=πe4xf(x) = \pi e^{4x} ?
  5. Quelle est l’influence des bornes de l’intégrale sur le volume calculé ?

Astuce :

Lorsque vous intégrez une fonction exponentielle eaxe^{ax}, la primitive est toujours de la forme 1aeax\frac{1}{a} e^{ax}, ce qui est utile pour calculer rapidement des volumes et des aires.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Calculus
Volume of Revolution
Disk Method
Exponential Functions
Definite Integrals

Formulas

Volume of revolution using disk method: V = ∫[a to b] π * (f(x))^2 dx
Area of a disk: A = π * r^2
Primitive of e^(ax): ∫ e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax)

Theorems

Disk method for volume of revolution
Fundamental Theorem of Calculus

Suitable Grade Level

College/University (Calculus Level)