Math Problem Statement

В правильной треугольной пирамиде S'ABC проведено сечение, параллельное грани SCB, которое делит ребро S A в отношении

3 : 5, считая от вершины S. Найдите объём пирамиды S ABC, если расстояние от точки А до плоскости сечения — 1, 25, а площадь сечения — 15.

Solution

Решение задачи:

Дано:

  1. Пирамида SABCS'ABC — правильная треугольная.
  2. Сечение параллельно грани SCBSCB.
  3. Отношение деления ребра SASA3:53:5 (от вершины SS).
  4. Расстояние от точки AA до сечения — 1.25.
  5. Площадь сечения — 15.

Найти:
Объём пирамиды VV.


Шаг 1. Соотношение линейных размеров.

Пусть длина ребра SA=hSA = h.
Точка деления разбивает SASA в отношении 3:5.

Сечение, параллельное грани, уменьшает все размеры в соответствии с коэффициентом подобия.

Коэффициент подобия определяется как отношение высот:

k=33+5=38k = \frac{3}{3 + 5} = \frac{3}{8}


Шаг 2. Площадь сечения.

Площадь сечения (параллельного грани SCBSCB) связана с площадью основания SCBSCB:

Sсечения=k2SоснованияS_{сечения} = k^2 \cdot S_{основания}

Из условия: Sсечения=15S_{сечения} = 15.

Подставляем k2k^2:

15=(38)2Sоснования15 = \left( \frac{3}{8} \right)^2 S_{основания}

15=964Sоснования15 = \frac{9}{64} S_{основания}

Sоснования=15649S_{основания} = 15 \cdot \frac{64}{9}

Sоснования=9609106.67S_{основания} = \frac{960}{9} \approx 106.67


Шаг 3. Высота основания.

Высота до сечения дана: 1.251.25.

С учётом коэффициента подобия:

hоснования=1.2538h_{основания} = \frac{1.25}{\frac{3}{8}}

hоснования=1.2583h_{основания} = 1.25 \cdot \frac{8}{3}

hоснования=1033.33h_{основания} = \frac{10}{3} \approx 3.33


Шаг 4. Объём пирамиды.

Формула объёма:

V=13SоснованияhоснованияV = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h_{основания}

V=139609103V = \frac{1}{3} \cdot \frac{960}{9} \cdot \frac{10}{3}

V=960081V = \frac{9600}{81}

V118.52V \approx 118.52


Ответ:

Объём пирамиды равен примерно 118.52.


Есть ли у вас вопросы или хотите разобрать детали решения?

5 дополнительных задачи:

  1. Найдите объём пирамиды, если её высота увеличится в 2 раза.
  2. Определите площадь основания пирамиды при другой пропорции деления ребра (например, 2:32:3).
  3. Рассчитайте объём, если расстояние до сечения составит 2.5.
  4. Найдите высоту, если известен объём пирамиды.
  5. Постройте график зависимости объёма от коэффициента деления.

Совет:
Параллельные сечения в пирамиде пропорциональны квадрату коэффициента подобия — это ключевой факт для подобных задач.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Geometry
Volume of a pyramid
Similarity and proportions
Surface areas and scaling

Formulas

Volume of a pyramid: V = (1/3) × S_base × h
Similarity ratio: k = part / total
Area scaling: S_section = k^2 × S_base

Theorems

Proportionality theorem for similar figures
Volume formula for pyramids

Suitable Grade Level

Grades 10-12