Решение задачи:

Дано:

1. Пирамида $S'ABC$ — правильная треугольная.
2. Сечение параллельно грани $SCB$.
3. Отношение деления ребра $SA$ — $3:5$ (от вершины $S$).
4. Расстояние от точки $A$ до сечения — 1.25.
5. Площадь сечения — 15.

Найти:
Объём пирамиды $V$.

---

Шаг 1. Соотношение линейных размеров.

Пусть длина ребра $SA = h$.
Точка деления разбивает $SA$ в отношении 3:5.

Сечение, параллельное грани, уменьшает все размеры в соответствии с коэффициентом подобия.

Коэффициент подобия определяется как отношение высот:

$k = \frac{3}{3 + 5} = \frac{3}{8}$

---

Шаг 2. Площадь сечения.

Площадь сечения (параллельного грани $SCB$) связана с площадью основания $SCB$:

$S_{сечения} = k^2 \cdot S_{основания}$

Из условия: $S_{сечения} = 15$.

Подставляем $k^2$:

$15 = \left( \frac{3}{8} \right)^2 S_{основания}$

$15 = \frac{9}{64} S_{основания}$

$S_{основания} = 15 \cdot \frac{64}{9}$

$S_{основания} = \frac{960}{9} \approx 106.67$

---

Шаг 3. Высота основания.

Высота до сечения дана: $1.25$.

С учётом коэффициента подобия:

$h_{основания} = \frac{1.25}{\frac{3}{8}}$

$h_{основания} = 1.25 \cdot \frac{8}{3}$

$h_{основания} = \frac{10}{3} \approx 3.33$

---

Шаг 4. Объём пирамиды.

Формула объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h_{основания}$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{960}{9} \cdot \frac{10}{3}$

$V = \frac{9600}{81}$

$V \approx 118.52$

---

Ответ:

Объём пирамиды равен примерно 118.52.

---

Есть ли у вас вопросы или хотите разобрать детали решения?

5 дополнительных задачи:

1. Найдите объём пирамиды, если её высота увеличится в 2 раза.
2. Определите площадь основания пирамиды при другой пропорции деления ребра (например, $2:3$).
3. Рассчитайте объём, если расстояние до сечения составит 2.5.
4. Найдите высоту, если известен объём пирамиды.
5. Постройте график зависимости объёма от коэффициента деления.

Совет:
Параллельные сечения в пирамиде пропорциональны квадрату коэффициента подобия — это ключевой факт для подобных задач.