Math Problem Statement
В правильной треугольной пирамиде S'ABC проведено сечение, параллельное грани SCB, которое делит ребро S A в отношении
3 : 5, считая от вершины S. Найдите объём пирамиды S ABC, если расстояние от точки А до плоскости сечения — 1, 25, а площадь сечения — 15.
Solution
Решение задачи:
Дано:
- Пирамида — правильная треугольная.
- Сечение параллельно грани .
- Отношение деления ребра — (от вершины ).
- Расстояние от точки до сечения — 1.25.
- Площадь сечения — 15.
Найти:
Объём пирамиды .
Шаг 1. Соотношение линейных размеров.
Пусть длина ребра .
Точка деления разбивает в отношении 3:5.
Сечение, параллельное грани, уменьшает все размеры в соответствии с коэффициентом подобия.
Коэффициент подобия определяется как отношение высот:
Шаг 2. Площадь сечения.
Площадь сечения (параллельного грани ) связана с площадью основания :
Из условия: .
Подставляем :
Шаг 3. Высота основания.
Высота до сечения дана: .
С учётом коэффициента подобия:
Шаг 4. Объём пирамиды.
Формула объёма:
Ответ:
Объём пирамиды равен примерно 118.52.
Есть ли у вас вопросы или хотите разобрать детали решения?
5 дополнительных задачи:
- Найдите объём пирамиды, если её высота увеличится в 2 раза.
- Определите площадь основания пирамиды при другой пропорции деления ребра (например, ).
- Рассчитайте объём, если расстояние до сечения составит 2.5.
- Найдите высоту, если известен объём пирамиды.
- Постройте график зависимости объёма от коэффициента деления.
Совет:
Параллельные сечения в пирамиде пропорциональны квадрату коэффициента подобия — это ключевой факт для подобных задач.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Geometry
Volume of a pyramid
Similarity and proportions
Surface areas and scaling
Formulas
Volume of a pyramid: V = (1/3) × S_base × h
Similarity ratio: k = part / total
Area scaling: S_section = k^2 × S_base
Theorems
Proportionality theorem for similar figures
Volume formula for pyramids
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Volume of a Pyramid with a Right Triangle Base and Inclined Faces
Calculate Surface Area and Volume of a Truncated Triangular Pyramid with Slanted Edges
Geometric Analysis of a Triangular Pyramid: Volume, Area, and Angles
Calculate the Volume Fraction of a Truncated Pyramid
Finding the Volume of Pyramid ABPQD with Given Edge Lengths