Для определения, какие из данных троек векторов являются левыми, нужно понять, что такое левая тройка векторов в трехмерном пространстве.

Тройка векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ является левой (если рассматривать их как ориентированные), если их векторное произведение (или произведение вектора $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$) ориентировано в ту же сторону, что и вектор $\mathbf{c}$. Для данной задачи подход будет следующим:

1. Рассчитываем векторное произведение двух векторов (например, $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$).
2. Если результат произведения положителен по отношению к вектору $\mathbf{c}$, то тройка векторов (a, b, c) ориентирована по часовой стрелке (правая тройка). Если результат произведения отрицателен, то тройка векторов ориентирована против часовой стрелки (левая тройка).

Для проверки, давайте вычислим ориентированное векторное произведение для каждой из предложенных троек.

Данные векторы:

• $\mathbf{a} = (6, 3, 1)$
• $\mathbf{b} = (7, 3, 1)$
• $\mathbf{c} = (6, 4, 1)$

Посчитаем векторное произведение для каждой из троек и проверим их ориентацию. Начнем с векторного произведения $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

1. Векторное произведение $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$:

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & 3 & 1 \\ 7 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix}$$ Рассчитываем: $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - \mathbf{j} (6 \cdot 1 - 1 \cdot 7) + \mathbf{k} (6 \cdot 3 - 3 \cdot 7)$$ $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} (3 - 3) - \mathbf{j} (6 - 7) + \mathbf{k} (18 - 21)$$ $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 3\mathbf{k} = (0, 1, -3)$$ Теперь нужно проверить, как вектор $$\mathbf{c} = (6, 4, 1)$$ ориентирован относительно вектора $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 1, -3)$$. Произведем скалярное произведение: $$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = (0, 1, -3) \cdot (6, 4, 1) = 0 \cdot 6 + 1 \cdot 4 + (-3) \cdot 1 = 4 - 3 = 1$$ Так как скалярное произведение положительное ($$1 > 0$$), то вектор $$\mathbf{c}$$ совпадает с ориентацией вектора $$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$$. Это значит, что тройка $$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$$ **левая**. Таким образом, правильный ответ — **тройка $$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$$** является левой. ### Ответ: 4) Векторы a, b, c Хотите узнать больше о векторных произведениях или о других свойствах векторов? ### Расширяющие вопросы: 1. Как вычисляется векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве? 2. Что такое правая и левая тройка векторов? 3. Как влияет знак скалярного произведения на ориентацию векторов? 4. Как проверить коллинеарность трех векторов? 5. В чем отличие между векторным и скалярным произведением? ### Советы: Помните, что для определения ориентации векторов полезно работать с их векторными и скалярными произведениями.