Pour trouver une équation vectorielle de la droite qui passe par le point $(-3,-4)$ et qui est perpendiculaire à la droite d'équation paramétrique $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 2 + t \\ 1 + t \end{pmatrix}$, nous devons suivre les étapes suivantes :

1. Trouver le vecteur directeur de la droite donnée

L'équation paramétrique de la droite donnée est :

$\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 2 + t \\ 1 + t \end{pmatrix}$

Le vecteur directeur de cette droite est donc $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, car ce sont les coefficients de $t$ dans l'équation.

2. Trouver le vecteur directeur de la droite perpendiculaire

Si deux droites sont perpendiculaires, leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Cela signifie que le produit scalaire des vecteurs directeurs des deux droites doit être nul.

Le vecteur directeur de la droite perpendiculaire doit être un vecteur orthogonal à $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Un vecteur orthogonal à $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ est $\vec{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (car $1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0$).

3. Écrire l'équation vectorielle de la droite perpendiculaire

La droite que nous cherchons passe par le point $(-3, -4)$ et a pour vecteur directeur $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

L'équation vectorielle de cette droite est donc :

$\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

C'est-à-dire :

$\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} -3 - t \\ -4 + t \end{pmatrix}$

Résultat final :

L'équation vectorielle de la droite cherchée est :

$\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} -3 - t \\ -4 + t \end{pmatrix}$

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?
Voici 5 questions pour approfondir :

1. Comment déterminer le vecteur directeur à partir d'une équation paramétrique ?
2. Comment trouver un vecteur orthogonal à un autre vecteur en 2D ?
3. Pourquoi le produit scalaire est-il utile pour vérifier la perpendicularité ?
4. Comment exprimer une droite en forme paramétrique à partir de points donnés ?
5. Comment passer de l'équation vectorielle à l'équation cartésienne d'une droite ?

Astuce : Un vecteur orthogonal à $(a, b)$ peut être obtenu en prenant $(-b, a)$.