Mari kita mulai dengan menjawab soal-soal yang terdapat dalam gambar tersebut secara rinci.

Soal 12:

Diketahui titik W terletak di perpanjangan UQ, sedangkan UW : QW = 5 : 2. Vektor OW jika dinyatakan dalam a, b, dan c adalah ...

• Dari gambar, kita bisa melihat bahwa $W$ adalah perpanjangan $UQ$, dengan perbandingan jarak 5:2.
• Berdasarkan pembagian rasio, jika kita memandang $OW = OP + PQ + QW$, kita dapat menentukan bahwa $OW = a + b + c$, dengan $a$, $b$, dan $c$ sebagai rasio perpanjangan berdasarkan koordinat.

Jawaban: $a + \frac{5}{7}b + \frac{12}{7}c$. Jadi, jawaban yang benar adalah c.

Soal 13:

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(1, -4), B(4, 3), dan C(2, 5). Hasil perkalian skalar $AC \cdot BC$ adalah ...

• Langkah pertama adalah menghitung vektor $AC$ dan $BC$:
  • $AC = C - A = (2 - 1, 5 - (-4)) = (1, 9)$
  • $BC = C - B = (2 - 4, 5 - 3) = (-2, 2)$
• Perkalian skalar $AC \cdot BC$ dihitung dengan cara: $AC \cdot BC = (1 \cdot -2) + (9 \cdot 2) = -2 + 18 = 16$

Jawaban yang benar adalah a.

Soal 14:

Diketahui $|a| = 4$, $|b| = 3$, dan $\angle (a, b) = 45^\circ$. Hasil $a \cdot b$ adalah ...

• Rumus perkalian skalar adalah: $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ Dengan $|a| = 4$, $|b| = 3$, dan $\theta = 45^\circ$, kita peroleh: $a \cdot b = 4 \times 3 \times \cos 45^\circ = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$

Jawaban yang benar adalah b.

Soal 15:

Hasil kali skalar antara vektor $a = \left( \begin{array}{c} 3 \\ n \end{array} \right)$ dan $b = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array} \right)$ adalah 12. Nilai $n$ adalah ...

• Perkalian skalar: $a \cdot b = 3 \times (-2) + n \times 3 = -6 + 3n = 12$ Sehingga: $3n = 12 + 6 = 18 \implies n = 6$

Jawaban yang benar adalah d.

Soal 16:

Diberikan vektor $\mathbf{u} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array} \right)$ dan $\mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ a \end{array} \right)$. Jika $\frac{1}{2} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 7$, maka $a =$...

• Perkalian skalar: $\frac{1}{2} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{2} \left( 4 \times (-1) + 6 \times a \right) = 7$ Menyederhanakan: $\frac{1}{2} (-4 + 6a) = 7 \implies -4 + 6a = 14 \implies 6a = 18 \implies a = 3$

Jawaban yang benar adalah d.

Apakah Anda ingin saya memberikan penjelasan yang lebih mendalam atau menyelesaikan soal yang lain?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menghitung jarak antara dua titik dalam ruang tiga dimensi?
2. Bagaimana menentukan sudut antara dua vektor dalam ruang 3D?
3. Apa perbedaan antara perkalian skalar dan vektor, serta aplikasinya?
4. Bagaimana kita bisa menghitung volume suatu bangun ruang dengan menggunakan vektor?
5. Apa sifat-sifat penting dari operasi dot product (perkalian skalar)?

Tip: Perkalian skalar dua vektor memberikan informasi tentang proyeksi satu vektor terhadap vektor lainnya dan hubungannya dengan sudut di antara mereka.