a) Bestäm kovariansen $C(X, Y)$:

Vi kan använda formeln för kovariansen mellan två stokastiska variabler $X$ och $Y$:

$C(X, Y) = \rho_{X,Y} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y$

där:

• $\rho_{X,Y}$ är korrelationskoefficienten mellan $X$ och $Y$,
• $\sigma_X$ är standardavvikelsen för $X$,
• $\sigma_Y$ är standardavvikelsen för $Y$.

Enligt frågan är:

• $\rho_{X,Y} = 0.5$,
• $X \sim N(9,9)$, så $\sigma_X = \sqrt{9} = 3$,
• $Y \sim N(3,1)$, så $\sigma_Y = \sqrt{1} = 1$.

Så, vi kan beräkna kovariansen:

$C(X, Y) = 0.5 \cdot 3 \cdot 1 = 1.5$

b) Variansen för $X + 8Y$:

För att beräkna variansen för en linjärkombination av stokastiska variabler, $Z = aX + bY$, använder vi formeln:

$\text{Var}(Z) = a^2 \cdot \text{Var}(X) + b^2 \cdot \text{Var}(Y) + 2ab \cdot C(X, Y)$

I detta fall är $a = 1$ och $b = 8$, så vi ska beräkna $\text{Var}(X + 8Y)$:

• $\text{Var}(X) = \sigma_X^2 = 9$,
• $\text{Var}(Y) = \sigma_Y^2 = 1$,
• $C(X, Y) = 1.5$.

Så variansen för $X + 8Y$ blir:

$\text{Var}(X + 8Y) = 1^2 \cdot 9 + 8^2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 1.5$ $\text{Var}(X + 8Y) = 9 + 64 + 24 = 97$

c) Variansen för $X - 8Y$:

För att beräkna variansen för $X - 8Y$, använder vi samma formel, men här är $a = 1$ och $b = -8$:

$\text{Var}(X - 8Y) = 1^2 \cdot 9 + (-8)^2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot (-8) \cdot 1.5$ $\text{Var}(X - 8Y) = 9 + 64 - 24 = 49$

Sammanfattning:

• a) $C(X, Y) = 1.5$
• b) $\text{Var}(X + 8Y) = 97$
• c) $\text{Var}(X - 8Y) = 49$

Har du några frågor eller vill du ha detaljer om någon del av beräkningarna?

Följande frågor kan vara relevanta för vidare utforskning:

1. Vad händer om korrelationen mellan $X$ och $Y$ ändras? Hur påverkar det kovariansen och variansen?
2. Hur beräknar man den gemensamma fördelningen mellan två stokastiska variabler med olika korrelationer?
3. Vad är skillnaden mellan kovarians och korrelation, och när är det bäst att använda den ena framför den andra?
4. Vad innebär det att $X \sim N(9,9)$ och hur påverkar detta de statistiska egenskaperna hos $X$?
5. Hur använder man samma principer för att beräkna variansen av andra linjärkombinationer av stokastiska variabler?

Tips: Kom ihåg att när korrelationen $\rho_{X,Y}$ är 0, betyder det att $X$ och $Y$ är oberoende.