Aby wyznaczyć wartości parametru $p$, dla których nierówność kwadratowa $(p - 2)x^2 + (p - 2)x + p - 1 < 0$ nie ma rozwiązań, musimy rozważyć kilka przypadków.

Krok 1: Analiza współczynników

Nierówność kwadratowa ma postać: $a x^2 + b x + c < 0$ gdzie: $a = p - 2, \quad b = p - 2, \quad c = p - 1$

Krok 2: Warunek, aby nierówność nie miała rozwiązań

Nierówność kwadratowa nie ma rozwiązań, jeśli ramiona paraboli są skierowane w górę (czyli $a > 0$) oraz jeśli wyróżnik (delta) jest ujemny ($\Delta < 0$).

a) Warunek $a > 0$

$p - 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad p > 2$

b) Wyróżnik (delta) mniejszy od zera

Wyróżnik równania kwadratowego $\Delta$ jest dany wzorem: $\Delta = b^2 - 4ac$ Podstawiając wartości $a$, $b$, i $c$: $\Delta = (p - 2)^2 - 4(p - 2)(p - 1)$

Obliczamy wyrażenie: $\Delta = (p - 2)^2 - 4(p - 2)(p - 1)$ $\Delta = (p^2 - 4p + 4) - 4(p^2 - 3p + 2)$ $\Delta = p^2 - 4p + 4 - 4p^2 + 12p - 8$ $\Delta = -3p^2 + 8p - 4$

Teraz, musimy sprawdzić kiedy $\Delta < 0$: $-3p^2 + 8p - 4 < 0$ To jest nierówność kwadratowa, którą możemy rozwiązać.

Krok 3: Znalezienie miejsc zerowych delty

Najpierw znajdźmy miejsca zerowe: $\Delta_0 = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-4) = 64 - 48 = 16$ $p_1 = \frac{-8 + 4}{-6} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$ $p_2 = \frac{-8 - 4}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2$

Rozwiązanie nierówności kwadratowej: $-3(p - 2/3)(p - 2) < 0$

Oznacza to, że $p$ leży w przedziale: $\frac{2}{3} < p < 2$

Krok 4: Łączne warunki

• $p > 2$ z warunku na współczynnik $a > 0$.
• $\Delta < 0$, czyli nierówność kwadratowa nie ma rozwiązań, gdy $p$ leży w przedziale $\frac{2}{3} < p < 2$.

Podsumowanie:

Nierówność $(p - 2)x^2 + (p - 2)x + p - 1 < 0$ nie ma rozwiązań dla $p$ leżących poza przedziałem $( \frac{2}{3}, 2 )$. Zatem, nierówność nie ma rozwiązań dla: $p > 2$

Czy chcesz uzyskać więcej szczegółów lub masz pytania?

---

Powiązane pytania:

1. Jak rozwiązać inne rodzaje nierówności kwadratowych?
2. Jakie są metody analizy wykresu funkcji kwadratowej?
3. Jakie są inne warunki brzegowe dla nierówności kwadratowych?
4. Jak zmienia się wykres funkcji w zależności od parametru $p$?
5. Co to jest wyróżnik (delta) i jak go obliczyć?
6. Jak znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
7. Jakie inne rodzaje funkcji mają znaczenie przy rozwiązywaniu nierówności?
8. Jakie są praktyczne zastosowania nierówności kwadratowych?

Porada: W przypadku nierówności kwadratowych zawsze sprawdzaj kierunek ramion paraboli (współczynnik przy $x^2$) i delta, aby określić, czy nierówność ma rozwiązania, oraz gdzie te rozwiązania się znajdują.