Wyznacz te wartości parametru p , dla których nierówność (p − 2)x^2 + (p − 2)x+ p − 1 < 0 nie ma rozwiązań.

Aby wyznaczyć wartości parametru \( p \), dla których nierówność kwadratowa \( (p - 2)x^2 + (p - 2)x + p - 1 < 0 \) nie ma rozwiązań, musimy rozważyć kilka przypadków.

### Krok 1: Analiza współczynników
Nierówność kwadratowa ma postać:
\[
a x^2 + b x + c < 0
\]
gdzie:
\[
a = p - 2, \quad b = p - 2, \quad c = p - 1
\]

### Krok 2: Warunek, aby nierówność nie miała rozwiązań
Nierówność kwadratowa nie ma rozwiązań, jeśli ramiona paraboli są skierowane w górę (czyli \( a > 0 \)) oraz jeśli wyróżnik (delta) jest ujemny (\( \Delta < 0 \)).

#### a) Warunek \( a > 0 \)
\[
p - 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad p > 2
\]

#### b) Wyróżnik (delta) mniejszy od zera
Wyróżnik równania kwadratowego \( \Delta \) jest dany wzorem:
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
Podstawiając wartości \( a \), \( b \), i \( c \):
\[
\Delta = (p - 2)^2 - 4(p - 2)(p - 1)
\]

Obliczamy wyrażenie:
\[
\Delta = (p - 2)^2 - 4(p - 2)(p - 1)
\]
\[
\Delta = (p^2 - 4p + 4) - 4(p^2 - 3p + 2)
\]
\[
\Delta = p^2 - 4p + 4 - 4p^2 + 12p - 8
\]
\[
\Delta = -3p^2 + 8p - 4
\]

Teraz, musimy sprawdzić kiedy \( \Delta < 0 \):
\[
-3p^2 + 8p - 4 < 0
\]
To jest nierówność kwadratowa, którą możemy rozwiązać.

### Krok 3: Znalezienie miejsc zerowych delty
Najpierw znajdźmy miejsca zerowe:
\[
\Delta_0 = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-4) = 64 - 48 = 16
\]
\[
p_1 = \frac{-8 + 4}{-6} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}
\]
\[
p_2 = \frac{-8 - 4}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2
\]

Rozwiązanie nierówności kwadratowej:
\[
-3(p - 2/3)(p - 2) < 0
\]

Oznacza to, że \( p \) leży w przedziale:
\[
\frac{2}{3} < p < 2
\]

### Krok 4: Łączne warunki
- \( p > 2 \) z warunku na współczynnik \( a > 0 \).
- \( \Delta < 0 \), czyli nierówność kwadratowa nie ma rozwiązań, gdy \( p \) leży w przedziale \( \frac{2}{3} < p < 2 \).

### Podsumowanie:
Nierówność \( (p - 2)x^2 + (p - 2)x + p - 1 < 0 \) nie ma rozwiązań dla \( p \) leżących poza przedziałem \( ( \frac{2}{3}, 2 ) \). Zatem, nierówność nie ma rozwiązań dla:
\[
p > 2
\]

Czy chcesz uzyskać więcej szczegółów lub masz pytania?

---

**Powiązane pytania:**
1. Jak rozwiązać inne rodzaje nierówności kwadratowych?
2. Jakie są metody analizy wykresu funkcji kwadratowej?
3. Jakie są inne warunki brzegowe dla nierówności kwadratowych?
4. Jak zmienia się wykres funkcji w zależności od parametru \( p \)?
5. Co to jest wyróżnik (delta) i jak go obliczyć?
6. Jak znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
7. Jakie inne rodzaje funkcji mają znaczenie przy rozwiązywaniu nierówności?
8. Jakie są praktyczne zastosowania nierówności kwadratowych?

**Porada:** W przypadku nierówności kwadratowych zawsze sprawdzaj kierunek ramion paraboli (współczynnik przy \( x^2 \)) i delta, aby określić, czy nierówność ma rozwiązania, oraz gdzie te rozwiązania się znajdują.

Discover how to determine values of parameter p in the inequality (p - 2)x^2 + (p - 2)x + p - 1 < 0 that result in no solutions. This problem explores quadratic inequalities and their discriminant conditions. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation